nombres complexes

[nico033]

Bonjour Job;

Serait il possible de m'aider à résoudre certains exercices sur les nombres complexes ;
les exercices sont joints en pJ (merci par avance)

[nico033]

Ci joints les exercices

[Job]

Bonjour nico033

Exercice 6
a) $z=1-\cos \theta -i\sin \theta$
$|z|^2=(1-\cos \theta)^2 +\sin^2 \theta =2-2\cos \theta =2(1-\cos \theta) =2(2\sin^2 \frac{\theta}{2})=4\sin^2\frac{\theta}{2}$
D'où $|z|=2\left|\sin \frac{\theta}{2}\right|$

Si $\theta =0\ [2\pi]$ alors $z=0$

Soit $\theta\neq 0\ [2\pi]$ et soit $\alpha$ un argument de $z$
$\cos \alpha =\frac{1-\cos \theta}{2\left|\sin \frac{\theta}{2}\right|}=\frac{2\sin^2 \frac{\theta}{2}}{2\left|\sin \frac{\theta}{2}\right|}=\left|\sin \frac{\theta}{2}\right|$
$\sin \alpha=\frac{-\sin \theta}{2\left|\sin \frac{\theta}{2}\right|}=\frac{-2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}}{2\left|\sin \frac{\theta}{2}\right|}$

Si $\theta \in ]4k\pi , (4k+2)\pi[$ alors $\frac{\theta}{2} \in ]2k\pi, (2k+1)\pi[$ et $\sin \frac{\theta}{2}>0$
Donc $\cos \alpha =\sin \frac{\theta}{2}$ et $\sin \alpha =-\cos \frac{\theta}{2}$. Soit $\alpha =\frac{\theta}{2}-\frac{\pi}{2}$

Si $\theta \in ](4k+2)\pi , (4k+4)\pi[$ alors $\frac{\theta}{2} \in ](2k+1)\pi , (2k+2)\pi[$ et $\sin \frac{\theta}{2} <0$
Don $\cos \alpha =-\sin \frac{\theta}{2}$ et $\sin \alpha = \cos \frac{\theta}{2}$ soit $\alpha = \frac{\theta}{2} +\frac{\pi}{2}$

b) $z=e^{e^{i\theta}}=e^{\cos \theta+i\sin \theta}=e^{\cos \theta} \cdot e^{i\sin \theta}$
Donc $|z|=|e^{\cos \theta}| \cdot |e^{i\sin \theta}|=e^{\cos \theta}\cdot 1 =e^{\cos \theta}$

$e^{i\sin \theta}=\cos (\sin \theta) +i \sin (\sin \theta)$ donc $\alpha =\sin \theta$

c) Une astuce souvent utile :
$z =e^{i\theta}+e{2i\theta}=e^{i\frac{3\theta}{2}}(e^{-i\frac{\theta}{2}}+e^{i\frac{\theta}{2}})=e^{i\frac{3\theta}{2}}(2\cos \frac{\theta}{2})$

Si $\theta =\pi \ [2\pi]$ alors $\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{2}\ [\pi]$ alors $\cos \frac{\theta}{2} =0$ donc $z=0$

Si $\theta \neq \pi\ [2\pi]$ alors $|z|=2\left|\cos \frac{\theta}{2}\right|$

Si $\theta \in ](4k-1)\pi , (4k+1)\pi[$ alors $\frac{\theta}{2}\in ]-\frac{\pi}{2} +2k\pi , \frac{\pi}{2} +2k\pi[$ et $\cos \frac{\theta}{2} >0$
On a alors $arg(z)=\frac{3\theta}{2}$

Si $\theta \in ](4k+1)\pi , (4k+3)\pi[$ alors $\frac{\theta}{2}\in ]\frac{\pi}{2} +2k\pi , \frac{3\pi}{2} +2k\pi[$ et $\cos \frac{\theta}{2} <0$
$z$ peut alors s'écrire $ z=|z| (-e^{i\frac{3\theta}{2}})$
Soit en remplaçant (-1) par $e^{i\pi}$, $z=|z|e^{i(\frac{3\theta}{2}+\pi)}$. Donc $arg(z)=\frac{3\theta}{2}+\pi$


L'astuce utilisée pour (c) pouvait aussi être utilisée pour (a)

[Job]

Bonjour

Exercice 7
a) Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
$z^2=x^2-y^2+2xyi$
Deux complexes sont égaux si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire donc
$z^2=1+i\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}x^2-y^2&=&1\\2xy&=&1\end{array}\right.$
soit $\left\{\begin{array}{rcl}y&=&\frac{1}{2x}\\x^2-\frac{1}{4x^2}&=&1\end{array}\right.$

$x^4-4x^2-1=0$ Avec $X=x^2$, $X^2-4X-1=0$
$X_1=\frac{1-\sqrt 2}{2}<0$ donc non acceptable et $X_2=\frac{1+\sqrt 2}{2}$
$x=\pm \sqrt{\frac{1+\sqrt 2}{2}}$ et $y=\pm\frac{1}{\sqrt{2(1+\sqrt 2)}}$ soit $z=\pm (\frac{1+\sqrt 2}{2}+i\frac{1}{\sqrt{2(1+\sqrt 2)}})$

b) Autre méthode : utiliser la forme exponentielle
$|1-i|=\sqrt 2$ ; $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt 2}$ et $\sin \theta =-\frac{1}{\sqrt 2}$ donc $\theta =-\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$
$1-i=\sqrt 2 e^{-i\frac{\pi}{4}}$
Avec $z=re^{i\alpha}\ (r\in R^+)$ on a $z^2=r^2 e^{2i\alpha}$
$z^2-1-i\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}r^2&=&\sqrt 2\\ 2\alpha &=&-\frac{\pi}{4}\ [2\pi]\end{array}\right.$

Les racines sont donc $\sqrt{\sqrt 2} e^{-\frac{\pi}{8}i}$ et $\sqrt{\sqrt 2} e^{\frac{7\pi}{8}i}$

c) $4ab+2(a^2-b^2)=2(a^2-b^2+2ab)=2[(a+b)^2-2b^2]$
Si $|a+b|\geq |b|\sqrt 2$ alors ce nombre est positif donc ses racines sont réelles : $\pm \sqrt{2[(a+b)^2-2b^2]}$
Si $|a+b|<|b|\sqrt 2$ alors ce nombre est négatif et ses racines sont imaginaires pures : $\pm i\sqrt{2[(a+b)^2-2b^2]}$

[Job]

Exercice 8

a) $\cos (4\theta)=2\cos^2 (2\theta) -1=2[2\cos ^2\theta -1]^2-1= 2(4\cos^4 \theta -4\cos^2 \theta +1)-1$
Soit $\cos (4\theta) =8\cos^4 \theta -8\cos^2\theta +1$

b) $\cos^4\theta=\left(\frac{e^{i\theta} +e^{-i\theta}}{2}\right)^4$
En développant avec la formule du binôme :
$=\frac{e^{4i\theta}+4e^{3i\theta}e^{-i\theta} +6e^{2i\theta}e^{-2i\theta}+4e^{i\theta}e^{-3i\theta}+e^{-4i\theta}}{16}$
$=\frac{1}{8}\times \frac{e^{4i\theta}+e^{-4i\theta}}{2}+ \frac{1}{2}\times \frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}}{2} +\frac{3}{8}=\frac{1}{8} \cos (4\theta)+\frac{1}{2} \cos (2\theta) +\frac{3}{16}$

c) $\sin^3 \theta=\left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^3=\frac{1}{-8i}(e^{3i\theta} -3e^{2i\theta}e^{-i\theta}+3e^{i\theta}e^{-2i\theta}-e^{-3i\theta})$
$= \frac{1}{-4}\times \frac{e^{3i\theta}-e^{-3i\theta}}{2i}+\frac{3}{4} \times \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$
$=\frac{3}{4} \sin \theta -\frac{1}{4} \sin (3\theta)$

[nico033]

Bonjour Job;

Merci pour votre aide , celui qui m'aiderait c'est le dernier de la feuille ainsi que le n° 12 si vous avez du temps ? Vous en remerciant par avance

[Job]

Bonjour nico033

Exercice 12

1. $a^5=e^{2i\frac{\pi}{5}\cdot 5}=e^{2i\pi}=1$

$a^{5-k}=a^5\cdot a^{-k}=a^{-2ik\frac{\pi}{5}}=\overline{a^k}$

2. $A$ est la somme de 5 termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $a$ donc
$A=1\times \frac{1-a^5}{1-a}=0$

3. Tout complexe de la forme $e^{i\theta}$ a pour module 1 donc $|a|=1$
En utilisant le résultat établi dans la question 1 : $a^3=a^{5-2}=\overline{a^2}$ et $a^4=a^{5-1} = \overline a$

$A=1+(a+\overline{a})+(a^2+\overline{a^2})$

4.$(a+\overline a)^2=a^2+\overline a^2 +2a\overline a =a^2+\overline a^2 +2|a|^2=a^2+\overline a^2+2$

$A=0\Longleftrightarrow 1+(a+\overline a)+(a+\overline a)^2-2=0$ soit $(a+\overline a)^2+(a+\overline a)-1=0$

5. Soit $x=(a+\overline a)$ , on a donc $x^2+x-1=0$
Racines : $\frac{-1\pm \sqrt 5}{2}$
Or $a+\overline a=2\cos \frac{2\pi}{5}>0$ car $0<\frac{2\pi}{5} <\frac{\pi}{2}$ donc $\cos \frac{2\pi}{5} =\frac{-1+\sqrt 5}{4}$

[Job]

Exercice 7

1) $|\sqrt{3}-i|=2\ ,\ cos \theta =\frac{\sqrt 3}{2}\ ;\ \sin \theta =-\frac{1}{2}$ donc $\theta =-\frac{\pi}{6}\ [2\pi]$ et $\sqrt 3 -i=2e^{-i\frac{\pi}{6}}$

Donc $Z=512(\sqrt 3 -i) =1024 e^{-i\frac{\pi}{6}}$

Soit $z=re^{i\theta}$
$z^8=Z\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}r^8&=&1024\\ 8\theta &=&-\frac{\pi}{6}\ [2\pi]\end{array}\right.$

$r^8=1024 =2^{10}$ soit $r^4=2^5$ donc $r=2^{\frac{5}{4}}=2\times 2^{\frac{1}{4}}=2\sqrt[4]2$

$8\theta =-\frac{\pi}{6} \ [2\pi] \Longleftrightarrow \theta =-\frac{\pi}{48}\ [\frac{\pi}{4}]$

Les racines huitièmes sont donc les complexes $z_k=2\sqrt[4]2 e^{ik\frac{\pi}{4}}\ k\in \{0,1,2,3,4,5,6,7\}$

2) Les images des racines appartiennent au cercle de centre $O$ de rayon $\sqrt[4]2$.
Les rayons joignant 2 images consécutives forment entre eux un angle de $\frac{\pi}{4}$
Le polygone formé est un octogone régulier.