Soit f:[0,1] ---> ]0,+00[ continue strictement décroissante
Pour tout n dans N*, soit x_n de [0,1] tel que f^n(x_n)=int(0 à 1) f^n(t)dt.
Trouver la limite de la suite (x_n)?
moyenne des puissances
Re: moyenne des puissances
Bonjour.
Si j'ai bien compris, vous étudiez la suite $x_n=f^{-1}\Bigl(\bigl(\int_0^1f(t)^nd t\bigr)^{1/n}\Bigr)$ (dont il est facile d'établir l'existence).
Il est plus facile d'étudier $f(x_n)=\bigl(\int_0^1f(t)^nd t\bigr)^{1/n}$ puis de composer par $f^{-1}$ par continuité.
Or $f(x_n)=\|f\|_n$ et c'est un fait notoire que $\lim \|f\|_n=\|f\|_\infty$ (voir un rappel de la preuve dans votre cas particulier ci-dessous, mais on peut faire quasiment la même en supposant juste $f$ continue), donc compte tenu de la positivité et la décroissance, $\lim f(x_n)=f(0)$, ce qui prouve que $\lim x_n=0$.
• Pour prouver que $\lim \|f\|_n=f(0)$ :
– L'inégalité $\|f\|_n\leq\|f\|_\infty=f(0)$ est évidente.
– Soit $\epsilon>0$. Il existe $\eta>0$ tel que pour tout $t\in[0,\eta]$, $f(0)-\epsilon\leq f(t)\leq f(0)$. On en déduit :
$\int_0^1f(t)^n dt\geq \int_0^\eta f(t)^n dt\geq \int_0^\eta(f(0)-\epsilon)^n dt=\eta(f(0)-\epsilon)^n$, puis : $\|f\|_n≥\eta^{1/n}(f(0)-\epsilon)$.
Or $\lim\eta^{1/n}=1$ donc à partir d'un certain rang, $f(0)-2\epsilon\leq \|f\|_n\leq f(0)$, ce qui prouve le résultat annoncé.
Si j'ai bien compris, vous étudiez la suite $x_n=f^{-1}\Bigl(\bigl(\int_0^1f(t)^nd t\bigr)^{1/n}\Bigr)$ (dont il est facile d'établir l'existence).
Il est plus facile d'étudier $f(x_n)=\bigl(\int_0^1f(t)^nd t\bigr)^{1/n}$ puis de composer par $f^{-1}$ par continuité.
Or $f(x_n)=\|f\|_n$ et c'est un fait notoire que $\lim \|f\|_n=\|f\|_\infty$ (voir un rappel de la preuve dans votre cas particulier ci-dessous, mais on peut faire quasiment la même en supposant juste $f$ continue), donc compte tenu de la positivité et la décroissance, $\lim f(x_n)=f(0)$, ce qui prouve que $\lim x_n=0$.
• Pour prouver que $\lim \|f\|_n=f(0)$ :
– L'inégalité $\|f\|_n\leq\|f\|_\infty=f(0)$ est évidente.
– Soit $\epsilon>0$. Il existe $\eta>0$ tel que pour tout $t\in[0,\eta]$, $f(0)-\epsilon\leq f(t)\leq f(0)$. On en déduit :
$\int_0^1f(t)^n dt\geq \int_0^\eta f(t)^n dt\geq \int_0^\eta(f(0)-\epsilon)^n dt=\eta(f(0)-\epsilon)^n$, puis : $\|f\|_n≥\eta^{1/n}(f(0)-\epsilon)$.
Or $\lim\eta^{1/n}=1$ donc à partir d'un certain rang, $f(0)-2\epsilon\leq \|f\|_n\leq f(0)$, ce qui prouve le résultat annoncé.