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par Job » 15 mai 2016, 16:58
Bonjour Jean
Premier exercice
1) Si tu as vu la loi binomiale, c'est une application de cette loi avec $n=2$ nombre d'épreuves et $p=0,8$ probabilité d'un succès.
Donc $P(X=1)={2\choose 1} \times 0,8 \times 0,2 =2\times 0,16 =0,32$.
Si tu n'as pas vu la loi binomiale, pour qu'il atteigne une fois et une seule la cible, il faut qu'il l'atteigne une fois et qu'il rate une fois mais il y a 2 ordres possibles donc probabilité : 0,8 x 0,2 +0,2 x 0,8 = 0,32.
2) Quand, dans la question, il y a "au moins" il faut penser à utiliser l'événement contraire.
La probabilité qu'il rate 2 fois la cible est $0,2^2=0,04$ donc la probabilité qu'il atteigne au moins une fois la cible est $1-0,04=0,96$
Deuxième exercice.
Quand on s'intéresse à la somme des résultats de 2 dés, on fait un tableau à double entrée avec résultats de chaque dé et dans les cases, on écrit la somme. Il y a 36 cases mais toutes les sommes ne sont pas équiprobables, par exemple la somme 2, n'apparaît qu'une fois, la somme 3 apparaît 2 fois , la somme 4 apparaît 3 fois ...
Pour en revenir à l'exercice, 2 événements sont indépendants si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités.
$P(X=1)=\frac{1}{6}$ , $P(Y=3)=\frac{2}{36} =\frac{1}{18}$
L'événement $(Y=3/X=1)$ équivaut à dire que le second dé a eu 2 pour résultat donc $P(Y=3/X=1)=\frac{1}{6}$
En utilisant la formule des probabilités conditionnelles $P(Y=3/X=1)=\frac{P[(Y=3)\cap(X=1)]}{P(X=1)}$ donc $P[(Y=3)\cap (X=1)]=\frac{1}{6} \times P(X=1)=\frac{1}{36}$
$\frac{1}{6} \times \frac{1}{18}\neq \frac{1}{36}$ donc les événements $(X=1)$ et $(Y=3)$ ne sont pas indépendants et donc les variables $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.
