limite quand x tend vers l'infini

[lesolitaire]

Bonjour;

J'ai un problème pour calculer cette limite:(x/(x+1))^x
quand x tend vers l'infini

Merci d'avance pour l'aide.

[Job]

Bonjour

$f(x)=(\frac{x}{x+1})^x$
$\ln (f(x))=x\ln (\frac{x}{x+1})=x\ln (1-\frac{1}{x+1})$
$\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x+1}=0$ donc $\ln (1-\frac{1}{x+1})\sim -\frac{1}{x+1}$
$x\ln (1-\frac{1}{x+1})\sim-\frac{x}{x+1}$
$\lim_{x\to +\infty}-\frac{x}{x+1}=-1$
$\lim_{x\to +\infty} \ln (f(x))=-1$ donc $\lim_{x\to +\infty} f(x)=e^{-1}$

[lesolitaire]

Merci;

Je ne saisie pas l'équivalence $\ln (1-\frac{1}{x+1})\sim -\frac{1}{x+1}$

de fait on peut écrire aussi
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\left( {\frac{x}{x}} \right)\frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}} \right)^x = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}}} \right)^x = \frac{1}{e}$

[Job]

Je ne saisie pas l'équivalence $\ln (1-\frac{1}{x+1})\sim -\frac{1}{x+1}$

En utilisant le développement limité en 0 : $\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)=t+o(t)$ donc $\ln (1+t)\sim t$

[lesolitaire]

Merci,

Je n'avais pas pensé à cette équivalent déduit du développement limité t->0 avec $t=\frac{1}{1+x}$ pour x->$\infty $