Bonjour,
J'ai un problème à comprendre mon erreur concernant un calcul de différentielle.
Soit f une fonction de classe $C^{k}$ (avec k >= 1) d’un ouvert $U$ de $R^{n}$ dans $ R^{n}$ dont la différentielle $d_{a}f$ est inversible pour tout $a$ appartenant à $U$.
On définit $g_{y}$ une fonction de $U$ dans $ R^{n}$:
$g_{y} (x) = x − (d_{a}f )^{−1}(f (x) − y)$ ou y appartient à $R^{n}$
Lorsque je calcule la différentielle de $g_{y}$ au point $a$ je trouve :
$d_{a}g_{y}(x) = Id_{R^{n}}(x) -(d_{a}f)^{-1}( f(x) − y) * d_{a}f(x)$
or je devrais obtenir : $d_{a}g_{y} = Id_{R^{n}} - d_{a}f^{−1} * d_{a}f = Id_{R^{n}} - Id_{R^{n}} = 0 $ si je comprends bien la suite de mon exercice.
J'ai essayé d'utiliser la formule pour calculer la différentielle d'une composé suivante :
$d(u∘v)(x) = du(v(x)) * dv(x)$ en posant $u(x) = (d_{a}f)^{-1}(x)$ et $v(x)=f(x)-y$
Je n'arrive pas à calculer correctement la différentielle de la fonction, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à comprendre ce que je fais mal svp.
Merci d'avoir pris le temps de lire mon annonce.
Différentielle d'une composition - comprendre mon erreur
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