Bonjour,
J’aimerais la démonstration de ça s’il vous plaît.
Énoncer:
Si(Ω,P) est un espace de probabilité,A,B deux événements,P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
Merci d’avance
Proba
Re: Proba
Bonjour,
J'arrive un peu tard pour te répondre mais j'espère que cela profitera à d'autres !
Pour démontrer cette formule, il faut d'abord se souvenir que si A et B sont des événements disjoints, alors P(A∪B)=P(A)+P(B).
Dans le cas général où A et B ne sont pas disjoints, il est possible d'écrire de manière astucieuse l'espace A∪B comme une union de trois espaces disjoints : A∪B = (A-B)∪(A∩B)∪(B-A). Les trois espaces étant disjoints, on peut donc écrire P(A∪B) = P(A-B) + P(A∩B) + P(B-A).
Or maintenant, il faut se rappeler que P(A-B) = P(A) - P(A∩B) et que P(B-A) = P(B) - P(A∩B).
Si on injecte ces deux formules, nous obtenons P(A∪B) = P(A) - P(A∩B) + P(A∩B) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) qui est la formule recherchée. CQFD.
J'arrive un peu tard pour te répondre mais j'espère que cela profitera à d'autres !
Pour démontrer cette formule, il faut d'abord se souvenir que si A et B sont des événements disjoints, alors P(A∪B)=P(A)+P(B).
Dans le cas général où A et B ne sont pas disjoints, il est possible d'écrire de manière astucieuse l'espace A∪B comme une union de trois espaces disjoints : A∪B = (A-B)∪(A∩B)∪(B-A). Les trois espaces étant disjoints, on peut donc écrire P(A∪B) = P(A-B) + P(A∩B) + P(B-A).
Or maintenant, il faut se rappeler que P(A-B) = P(A) - P(A∩B) et que P(B-A) = P(B) - P(A∩B).
Si on injecte ces deux formules, nous obtenons P(A∪B) = P(A) - P(A∩B) + P(A∩B) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) qui est la formule recherchée. CQFD.