problème

[noir d'encre]

Bonjour,
Je n'ai pas réussi cette partie d'un ds
f ds ${R^2} $ , f(x, y)=(-2${\alpha} $x+${\alpha} $y,${\alpha} $x-2${\alpha} $y)
f est linéaire.
1. Soit (x, y) ${\in} $ ${R^2} $ calculer ${f^2} $((x,y))
2 . démontrer que ${f^2} $+4${\alpha} $f+3${\alpha^2} $Id=0
3 . démontrer que f est un automorphisme et calculer son inverse
4. On pose pour la suite du problème P=${X^2} $+4${\alpha} $X+3${\alpha^2} $. Factoriser P. En deduire que (f+3${\alpha} $.Id)o (f+${\alpha} $.Id)=0 et que (f+${\alpha} $.Id)o (f+3${\alpha} $.Id)
On pose g1=(f+${\alpha} $.Id) et g2= (f+3${\alpha} $.Id). On pose également E1=ker(g1) et E2=ker(g2)
5. Démontrer que pour tout ${\overrightarrow{u}}$ ${\in} $ ${R^2} $, ${\overrightarrow{u}} $ ${\in} $ E2 ${\Leftrightarrow} $ f(${\overrightarrow{u}}$)=-3${\alpha} $${\overrightarrow{u}}$. Citer le résultat analogue pour E1
6. Démontrer que Im(g2) ${\subset} $ E1, puis que Im(g1) ${\subset} $ E2
7. Calculer explicitement E1 et E2
8. Vérifier que E1=Vect((1,1)) et E2=Vect((-1,1))
pouvez-vous m'aider svp?
Si vous pouviez m'aider

[Job]

Bonjour

1. $f(x,y)=\alpha (-2x+y, x-2y)$
$f^2(x,y)=f(f(x,y))=f(-2\alpha x +\alpha y, \alpha x -2\alpha y)=(-2\alpha(-2\alpha x +\alpha y)+\alpha(\alpha x -2\alpha y),\alpha(-2\alpha x +\alpha y)-2\alpha (\alpha x -2\alpha y))$
$f^2(x,y))=(5\alpha^2 x -4\alpha^2 y, -4\alpha^2 x +5\alpha^2 y)=\alpha^2(5x-4y,-4x+5y)$

2. $(f^2+4\alpha f +3\alpha^2 Id)(x,y)=\alpha^2(5x-4y,-4x+5y)+4\alpha^2(-2x+y, x-2y)+3\alpha^2 (x,y)=\alpha^2 (0,0)=0$

3. $f\circ (f+4\alpha Id)=-3\alpha^2 Id$
En divisant par $(-3\alpha^2)$ : $f\circ (-\frac{1}{3\alpha^2} f -\frac{4}{3\alpha} Id) =Id$
De même, $(-\frac{1}{3\alpha^2} f -\frac{4}{3\alpha} Id) \circ f =Id$
$f$ est donc inversible, c'est un automorphisme et son inverse est l'endomorphisme $(-\frac{1}{3\alpha^2} f -\frac{4}{3\alpha} Id)$

4. $-\alpha$ est une racine évidente de $P$ et le produit des racines est $3\alpha^2$ donc la seconde racine est $-3\alpha$
$P=(X+\alpha)(X+3\alpha)$
On en déduit que : $f^2+4\alpha f +3\alpha^2 Id=(f+3\alpha Id)\circ (f+\alpha Id)=((f+\alpha Id)\circ (f+3\alpha Id)$
Comme $f^2 +4\alpha f+3\alpha^2 Id=0$, on en déduit que chacune des 2 composées est nulle.

5. $\vec u \in E_2 \Longleftrightarrow (f+3Id)(\vec u) =\vec 0 \Longleftrightarrow f(\vec u) +3\alpha \vec u =\vec 0 \Longleftrightarrow f(\vec u) =-3\alpha \vec u$
De même $\vec u \in E_1 \Longleftrightarrow f(\vec u) =-\alpha \vec u$

6. $g_2(\vec u) =(f+3\alpha Id) (\vec u)$
$(f+\alpha Id)(g_2(\vec u))=[(f+\alpha Id)\circ (f+3\alpha Id)](\vec u) =\vec 0$ d'après la question 4.
Donc $Im(g_2)\subset E_1$
De même $Im(g_1)\subset E_2$

7. Soit $\vec u =(x,y)\in E_1$
$\vec u \in E_1 \Longleftrightarrow f(\vec u)=-\alpha \vec u$ soit $\alpha (-2x+y, x-2y) =-\alpha (x,y)$
Ce qui équivaut à $\left\{\begin{array}{rcl} -2x+y=-x \\ x-2y=-y\end{array}\right.$ soit $x=y$
$E_1=\{(x,x),\ x\in {\mathbb R}\}$
On montre, de même, $(x,y)\in E_2\Longleftrightarrow x=-y$
$E_2=\{(-y,y),\ y\in {\mathbb R}\}$

8. $(x,x)=x(1,1)$ donc $E_1=Vect((1,1))$
$(-y,y)=y(1,1)$ donc $E_2=Vect((-1,1))$

Petite remarque : il s'agit d'un sujet d'algèbre et non d'analyse

[noir d'encre]

Bonjour,

d'accord merci beaucoup, ! Je ne vois pas la différence entre algèbre et analyse