Équation différentielle

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PetitPanda
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Équation différentielle

Message par PetitPanda » 21 mars 2021, 12:56

Bonjour,

Je suis bloquée dans la résolution de cette équation différentielle :
$x^{2}y'-xy=x^{3}+x$

Je sais que les solutions sont de la forme
$y(x)=\sum_{k=0}^{N} a_{k}x^{k}$

Ce qui me donne
$y'(x)=\sum_{k=1}^{N} ka_{k}x^{k-1}$

Soit pour résoudre l'équation homogène
$x^{2}y'-xy=x^{2}\sum_{k=1}^{N} ka_{k}x^{k-1}-x\sum_{k=0}^{N} a_{k}x^{k}=0$

Après quelques étapes de développement, on trouve
$\sum_{k=2}^{N+1} (k-2)a_{k-1}x^{k}-a_{0}x=0$

Or, un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
C'est sur cette étape que je bloque, car d'après la correction, cela donne :
$N+1=3$
$a_{0}=-1$
$(N+1-2)a_{N+1-1} = 1$

Je vous remercie pour votre aide! :D

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Job
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Re: Équation différentielle

Message par Job » 21 mars 2021, 15:37

Bonjour
PetitPanda a écrit :
21 mars 2021, 12:56
Bonjour,

Je suis bloquée dans la résolution de cette équation différentielle :
$x^{2}y'-xy=x^{3}+x$

Je sais que les solutions sont de la forme
$y(x)=\sum_{k=0}^{N} a_{k}x^{k}$

Ce qui me donne
$y'(x)=\sum_{k=1}^{N} ka_{k}x^{k-1}$

Soit pour résoudre l'équation homogène
$x^{2}y'-xy=x^{2}\sum_{k=1}^{N} ka_{k}x^{k-1}-x\sum_{k=0}^{N} a_{k}x^{k}=0$

Après quelques étapes de développement, on trouve
$\sum_{k=2}^{N+1} (k-2)a_{k-1}x^{k}-a_{0}x=0$

Or, un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
C'est sur cette étape que je bloque, car d'après la correction, cela donne :
$N+1=3$
$a_{0}=-1$
$(N+1-2)a_{N+1-1} = 1$

Je vous remercie pour votre aide! :D
Le coefficient du terme de degré $N+1=3$ est donc $a_2$. Comme dans le second membre de l'équation différentielle il est égal à 1 on a donc $a_2=1$
D'autre part $a_1=0$ donc $y(x)=x^2-1$
On a bien $x^2y'-xy=x^2(2x)-x(x^2-1)=x^3+x$

PetitPanda
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Re: Équation différentielle

Message par PetitPanda » 22 mars 2021, 12:43

Bonjour!

Je vous remercie pour votre aide, tout est clair maintenant! :D

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