matrice

Aide sur les questions d'analyses.
gigi10
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matrice

Message par gigi10 » 27 décembre 2020, 20:02

Bonjour serait il possible de m'aider svp ?

1) M= (1/4 3/4
1/3 2/3)

a) determiner deux réels a et b tels que M^2= aM+bI2
(j'ai calculer M^2 j'ai trouvé (5/16 11/16
11/36 25/36) je n'arrive pas a faire la suite )
b) prouver que pour tout n appartenant à N, il existe (an,bn) appartenant à R^2: M^2=anM+bnI2
c) determiner les relations de recurrences sur les suites (an) et (bn) en deduire les valeurs an et bn puis la matrice M^n
d) montrer que la suite de matrice (M^n) converge et que sa limite est une matrice stochastique

2) K= (1/3 2/3 0
0 1/3 2/3
0 0 1)

L= (0 1 0
0 0 1
0 0 1)

d) determiner les puissances positives ou nulles de L
e) ecrire K comme une combinaison lineaire des matrices I3 et L en deduire les puissances positives ou nulles de K
f) montrer que la suite (K^n) converge et que sa limite est une matrice stochastique

Meci par avance. J'ai fais de mon mieux, j'ai bcp cherhcé mais je ne c pas du tt comment faire j'ai vrmt besoin de votre aide.

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Job
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Re: matrice

Message par Job » 28 décembre 2020, 15:50

Bonjour

a) $aM+bI_2=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}a+b&\frac{3}{4}a\\\frac{1}{3}a&\frac{2}{3}a+b\end{matrix}\right)$

Par identification avec $M^2$, on a $\frac{1}{4}a+b=\frac{5}{16}$ et $\frac{3}{4}a=\frac{11}{16}$

On obtient $a=\frac{11}{12}$ et $b=\frac{1}{12}$

b) Par récurrence : On suppose $M^n= a_nM+b_nI_2$
$M^{n+1}=a_nM^2+b_nM=a_n(\frac{11}{12} M +\frac{1}{12}I_2)+b_nM$
$M^{n+1}=(\frac{11}{12}a_n+b_n)M+\frac{1}{12}a_nI_2$

c) On a donc $a_{n+1}=\frac{11}{12} a_n+b_n$ et $b_{n+1}=\frac{1}{12}a_n$

gigi10
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Re: matrice

Message par gigi10 » 31 décembre 2020, 10:52

Merci bcp!

il ne faut pas montrer que la suite (an) est récurrente linéaire d'ordre 2 ?
pour la convergence de la suite il faut dire quelle est qu'elle est croissante et majorée ?
je ne c pas montrer que M^n est stochastique pour tout entier
et la d e f j'ai beau cherhcer je n'y arrive pas... :(

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Job
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Re: matrice

Message par Job » 31 décembre 2020, 15:45

Bonjour

$a_{n+1}=\frac{11}{12} a_n+b_n$ et $b_n=\frac{1}{12} a_{n-1}$ donc $a_{n+1}=\frac{11}{12} a_n+\frac{1}{12} a_{n-1}$

On a donc une suite récurrente linéaire d'ordre 2 dont l'équation caractéristique est : $r^2-\frac{11}{12} r -\frac{1}{12}=0$

Les racines sont 1 et $-\frac{1}{12}$ donc $a_n=\lambda +\mu (-\frac{1}{12} )^n$

Avec $a_1=1$ et $a_2=\frac{11}{12}$ le système m'a donné $\mu =-\frac{12}{13}$ et $\lambda =\frac{12}{13}$

Donc $a_n=\frac{12}{13} (1-(-\frac{1}{12})^n)$

$b_n=\frac{1}{12}a_{n-1}=\frac{1}{13} (1-(-\frac{1}{12})^{n-1})$ pour $n\geq 2$.

$\lim a_n=\frac{12}{13}$ et $\lim b_n=\frac{1}{13}$

Avec $M^n=a_nM+b_nI_2$ on obtient

$\lim M^n=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{9}{13}\\ \frac{4}{13} & \frac{9}{13} \end{matrix}\right)$ qui est bien une matrice stochastique.

Calculs à vérifier

gigi10
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Re: matrice

Message par gigi10 » 01 janvier 2021, 11:02

merci :)
pour la d, e, f on voit que L est la somme d'une matrice triangulaire et diagonale, mais que faire par la suite?

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Re: matrice

Message par Job » 02 janvier 2021, 15:56

$L^0=Id_3$

$L^2=\left(\begin{matrix}0&0&1\\0&0&1\\0&0&1\end{matrix}\right)$

En faisant le produit de $L^2$ par L on obtient $L^2$.

Donc pour $n\geq 2, L^n=L^2$

$a I_3+b L=\left(\begin{matrix}a&b&0\\0&a&b\\0&0&a+b\end{matrix}\right)$

Par identification avec $K$, on obtient $a=\frac{1}{3}$ et $b=\frac{2}{3}$ donc $K=\frac{1}{3} (2L+I_3)$

Pour $n\geq 2, K^n=\frac{1}{3^n}(2L+I_3)^n$

$\displaystyle (2L+I_3)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}2^kL^kI_3^{n-k}=\sum_{k=0}^n{n\choose k}2^kL^k$

$\displaystyle K^n=\frac{1}{3^n}(I_3+2nL+\sum_{k=2}^n2^kL^2)$ (compte tenu du résultat de $L^n$

$\displaystyle \sum_k=2^n 2^k=(2^{n+1}-1)-1-2=2^{n+1}-4$

On a donc $\displaystyle K^n=\frac{1}{3^n}\left(\begin{matrix}1&2n&2^{n+1}-4\\0&1&2n+2^{n+1}-4\\0&0&1+2n+2^{n+1}-4\end{matrix}\right)$
C'est une matrice stochastique.

Pour la convergence, je ne comprends pas, compte tenu de $\frac{1}{3^n}$ il y a convergence vers 0.

gigi10
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Re: matrice

Message par gigi10 » 03 janvier 2021, 00:08

merci énormement pour votre aide :D

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