Exercice

Aide sur les questions d'analyses.
Thamirah17
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Exercice

Message par Thamirah17 » 17 avril 2020, 13:31

Bonjour,
J'ai besoin de votre aide pour cet exercice s'il vous plaît..

Former le développement limité à l'ordre 3 en 0 de la fonction f : x --> arctan (e^x)
On pourra considérer la dérivée de f.

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Job
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Re: Exercice

Message par Job » 17 avril 2020, 17:16

Bonjour

$\displaystyle f'(x)=\frac{e^x}{1+e^{2x}}=\frac{1}{e^{-x}+e^x}$

$\displaystyle e^{-x}+e^{x}=(1+(-x)+\frac{x^2}{2} +o(x^3))+(1+x+\frac{x^2}{2} +o(x^3))=2+x^2 +o(x^3)$

$\displaystyle e^{-x}+e^{x}=2(1+\frac{x^2}{2} +o(x^3))$

$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2}[1+\frac{x^2}{2}+o(x^3)]^{-1}=\frac{1}{2} [1+(-1)(\frac{x^2}{2})+o(x^4)]$

$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2} -\frac{x^2}{4}+o(x^4)$

$f(0)=\frac{\pi}{4}$ donc $\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} x -\frac{x^3}{12} +o(x^3)$

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