Vecteur directeur d'une droite (Première)

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Vecteur directeur d'une droite (Première)

Message par Job » 18 octobre 2015, 10:20

1. Rappel : vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$ sont colinéaires si et seulement si , il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow v = k \overrightarrow u$.
Dans un repère du plan $\overrightarrow u (X,Y)$ et $\overrightarrow v (X',Y')$ sont colinéaires si et seulement si $XY'-X'Y=0$

2. Définition et premières propriétés

Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur $\overrightarrow u\neq \overrightarrow 0$ dont la direction est celle de $d$.

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs colinéaires entre eux.
Si $A$ et $B$ sont deux points distincts d'une droite $d$ alors $\overrightarrow {AB}$ est un vecteur directeur de $d$.
Deux droites parallèles ont les mêmes vecteurs directeurs.

3. Équation cartésienne d'une droite dans le plan muni d'un repère

3.1 Droite définie par un point et un vecteur directeur
Soit un point $A \left(\begin{matrix}x_0\\y_0\end{matrix}\right)$ et un vecteur $\overrightarrow u \left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)$ non nul.
Un point $M \left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)$ appartient à la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow u$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow u$ sont colinéaires, soit, en utilisant la relation de colinéarité $(x-x_0)q-p(y-y_0)=0$ ou $qx-py-x_0q+py_0=0$
Donc on obtient une équation de la forme $ax+by+c=0$ , les coordonnées d'un vecteur directeur étant $(-b,a)$

Exemple : équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A\ (2,3)$ et ayant pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow u\ (-1,2)$
$M\ (x,y)\in d$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}\left(\begin{matrix}x-2\\y-3\end{matrix}\right)$ et $\overrightarrow u\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$ sont colinéaires soit $(x-2)2-(-1)(y-3)=0$
$d$ a donc pour équation cartésienne : $2x+y-7=0$

3.2 Droite définie par 2 points $A$ et $B$
$\overrightarrow {AB}$ est alors un vecteur directeur de la droite $(AB)$

Exemple : équation cartésienne de la droite passant par $A\ (-3,5)$ et $B\ (1,2)$
Un point $M\ (x,y)$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}\left(\begin{matrix}x+3\\y-5\end{matrix}\right)$ et $\overrightarrow{AB}\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$ sont colinéaires soit $(x+3)(-3)-4(y-5)=0$.
La droite $(AB)$ a donc pour équation cartésienne $-3x-4y+11=0$
On peut aussi écrire : $3x+4y-11=0$ que l'on obtient en multipliant les 2 membres de l'égalité par (-1).

4. Coefficient directeur
Si $b\neq 0$, c'est-à-dire si la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, l'équation $ax+by+c=0$ peut alors s'écrire $y=-\frac{a}{b} x -\frac{c}{b}$.
$m=-\frac{a}{b}$ est le coefficient directeur de la droite.
$y=mx+p$ est l'équation réduite de la droite.

5. Trouver un vecteur directeur d'une droite dont on connaît une équation cartésienne ou l'équation réduite.

Une droite ayant pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ admet un vecteur directeur de coordonnées $\left(\begin{matrix} -b\\a\end{matrix}\right)$

Une droite ayant pour équation réduite $y=mx+p$ admet pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées $(1,m)$.

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