Complexes et géométrie (Terminale)

Fiches récapitulatives et rappels de cours.
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Job
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Complexes et géométrie (Terminale)

Message par Job » 30 janvier 2015, 16:30

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O,\vec u , \vec v)$

1. Rappels
a) Affixe d'un vecteur
$z_{\overrightarrow {AB}}=z_B-z_A$

b) Affixe du milieu d'un segment
Soit $K$ le milieu de $[A,B]$ : $z_K=\frac{1}{2} (z_A+z_B)$

c) Distance de 2 points
$AB=|z_B-z_A|$

d) Angle
$M$ étant un point d'affixe $z$ distinct de $O$, $arg(z)=(\overrightarrow u, \overrightarrow{OM})$
$A$ et $B$ étant 2 points distincts : $(\overrightarrow {OA} , \overrightarrow{OB})=arg(z_B)-arg(z_A)$

2. Démontrer qu'un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme
Deux méthodes :
$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {DC}$ donc si et seulement si $z_B-z_A=z_C-z_D$

$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $[AC]$ et $[BD]$ ont même milieu.
Il suffit de calculer les affixes des milieux de $[AC]$ et $[BD]$ et constater que $\frac{1}{2} (z_A+z_C)=\frac{1}{2} (z_B+z_D)$

3. Démontrer que 3 points distincts deux à deux sont alignés
$A,\ B,\ C$ sont alignés si et si il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$
On calcule les affixes des 2 vecteurs et on montre qu'il existe un réel $k$ tel que $z_{\overrightarrow{AC}}=kz_{\overrightarrow{AB}}$ soit $z_C-z_A=k(z_B-z_A)$

4. Déterminer la nature d'un triangle
a) Démontrer qu'un triangle est isocèle
$ABC$ est isocèle de sommet $A$, si et seulement si $AB=AC$ soit $|z_B-z_A|=|z_C-z_A|$

b) Démontrer qu'un triangle est rectangle en $A$.
On calcule les trois distances $AB,\ AC,\ BC$ et on vérifie le théorème de Pythagore.
On doit avoir $|z_C-z_B|^2=|z_C-z_A|^2+|z_B-z_A|^2$

5. Ensembles de points
Les points $A$ et $B$ sont supposés connus.

a) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-z_A|=r$ avec $r\in {\mathbb R^+}$

$|z-z_A|=r$ équivaut à $AM=r$ donc l'ensemble des points $M$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$.

b) Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|\frac{z-z_A}{z-z_B}|=1$
$|\frac{z-z_A}{z-z_B}|=1$ équivaut à $\frac{|z-z_A|}{|z-z_B|}=1$ soit $|z-z_A|=|z-z_B|$ soit encore $AM=BM$.
L'ensemble des points $M$ est donc la médiatrice de $[AB]$.

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