Équations dans l'ensemble des complexes (Terminale)

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Équations dans l'ensemble des complexes (Terminale)

Message par Job » 14 octobre 2014, 16:11

Remarque (de bon sens) : commencer par voir de quel degré est l'équation.

Équation de degré 1
Une équation de degré 1 dans l'ensemble $\mathbb C$ se résout de la même manière que dans $\mathbb R$ : on isole dans un membre les termes contenant l'inconnue.
Exemple : Résoudre dans $\mathbb C$, l'équation d'inconnue $z$ : $\frac{z-2i}{z+3}=2-i$
L'équation est définie si $z\neq -3$. Dans ce cas, l'équation équivaut à :
$z-2i=(2-i)(z+3)$
$z-2i=2z+6-iz-3i$
$-6+i=z(1-i)$
$z=\frac{-6+i}{1-i}=\frac{(-6+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=-\frac{7}{2} -\frac{5}{2}i$

Équation avec $z$ et $\bar z$
On utilise la forme algébrique de $z$ en posant $z=x+iy,\ x\in {\mathbb R},\ y\in {\mathbb R}$
Exemple : Résoudre l'équation d'inconnue $z$ : $3\bar z -2iz =2-3i$
$3(x-iy)-2i(x+iy) =2-3i$
$3x-3iy-2ix+2y=2-3i$
$3x+2y+i(-2x-3y)=2-3i$
Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire donc $x$ et $y$ sont solutions du système : $\left\{\begin{array}{rcl} 3x+2y&=&2\\ -2x-3y&=&-3\end{array} \right.$
On obtient $x=0$ et $y=1$. La solution de l'équation est l'imaginaire pur $z=i$.

Équation de degré 2 à coefficients réels : az^2+bz+c=0
On calcule le discriminant.
a) $\Delta \geq 0$ : les racines sont alors réelles et on termine comme dans $\mathbb R$.
b) $\Delta<0$ : alors $\Delta$ est le carré de $i\sqrt{|\Delta|}=i\sqrt{-\Delta}$ et on poursuit la résolution comme dans $\mathbb R$.
Les racines sont donc : $\frac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $\frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$. Ce sont des complexes conjugués.

Exemple : Résoudre dans $\mathbb C$, l'équation : $9z^2-12z+7=0$.
$\Delta=(-12)^2-4\times 9\times 7=-108$
L'équation admet donc 2 solutions complexes conjuguées :
$z_1=\frac{12-i\sqrt{108}}{18}=\frac{6(2-i\sqrt 3)}{18}=\frac{2-i\sqrt 3}{3}$ et $z_2=\frac{2+i\sqrt 3}{3}$.

Exemple de résolution d'une équation de degré 3
On considère le polynôme $P(z)=z^3+2z^2-z-14$
1) Montrer que 2 est solution de l'équation $P(z)=0$.
2) Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout complexe $z$, $P(z)=(z-2)(z^2+az+b)$.
3) Terminer la résolution dans $\mathbb C$ de l'équation $P(z)=0$.

1) On calcule $P(2)$, on trouve 0 donc 2 est solution de l'équation $P(z)=0$
2) On effectue le produit $(z-2)(z^2+az+b)=z^3+(a-2)z^2+(b-2a)z -2b$
Par identification avec $P(z)$, on obtient le système : $\left\{\begin{array}{rcl}a-2&=&2\\b-2a&=&-1\\-2b&=&-1\end{array}\right.$
La résolution donne $a=4$ et $b=7$.
3) $P(z)=(z-2)(z^2+4z+7)$
Il reste à résoudre l'équation $z^2+4z+7=0$. Les solutions sont : $-2-i\sqrt 3$ et $-2+i\sqrt 3$.
L'ensemble des solutions de l'équation $P(z)=0$ est : $\{2, -2-i\sqrt 3 , -2+i\sqrt 3\}$.

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