Suites arithmétiques (1ère et Term)

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Suites arithmétiques (1ère et Term)

Message par Job » 29 juin 2013, 15:22

Une suite est arithmétique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ appelé la raison.
Pour tout entier naturel $n$ tel que $u_n$ soit défini, $u_{n+1}=u_n+r$

1. Savoir si une suite est arithmétique

On calcule les 3 premiers termes. Si $u_2-u_1\neq u_1-u_0$ alors la suite n'est pas arithmétique.

Si il y a égalité, on peut supposer que la suite est arithmétique mais il faut le démontrer en calculant de manière générale $u_{n+1}-u_n$.
Si on trouve un nombre r indépendant de n alors la suite est arithmétique de raison r.

2. Calcul d'un terme connaissant le premier terme et la raison

Si le premier terme de la suite est $u_0$, alors pour tout rang $n$, $u_n=u_0+nr$

Si le premier terme de la suite est $u_1$, alors pour tout rang $n\geq 1$, $u_n=u_1+(n-1)r$

3. Sens de variation

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=r$. Par conséquent :
- si $r>0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante ;
- si $r<0$, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante ;
- si $r=0$, la suite $(u_n)$ est constante.

4. Limite

Une suite arithmétique de raison $r>0$ a pour limite $+\infty$ quand n tend vers $+\infty$
Une suite arithmétique de raison $r<0$ a pour limite $-\infty$ quand n tend vers $+\infty$

5. Somme de termes consécutifs

$\sum\limits_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\cdots +u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$ (la somme comprend $n+1$ termes).
$\sum\limits_{k=1}^n u_k=u_1+u_2+\cdots +u_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$ (la somme comprend $n$ termes).

6. Exemple de détermination d'une suite dont on connaît 2 termes

Soit une suite arithmétique de premier terme $u_0$ telle que $u_6=-13$ et $u_9=-22$. Déterminer la raison et le premier terme.

On peut, en utilisant $u_n=u_0+nr$, écrire le système : $\left\{\begin{array}{rc1}u_0+6r=-13 \\ u_0+9r=-22\end{array}\right.$ et le résoudre.

Ou directement : $u_9-u_6=(u_0+9r)-(u_0+6r)=3r$ d'où on déduit : $3r=-22-(-13)=-9$ donc $r=-3$.
$u_0=u_6-6r=-13-6(-3)=5$

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