aide pour un exercice sur vecteurs produits scalaires

[celine]

Sur la figure ci-dessous, ABCD est un trapèze rectangle tel que AB = 7, AD = 5 et DC = 3.

E est le point du segment [AB] tel que AE = 3; i est le milieu du segment [EC].


Question : Les droites (AI) et (BC) sont-elles perpendiculaires ? Si non, quelle valeur donner à la longueur du segment [AB] pour que ce soit le cas ?

Je suis perdue, je sais que je dois utiliser les produits scalaires mais je n arrive pas a débuter y a t il une bonne ame pour m'aider merci

[Job]

Bonjour

$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2} \overrightarrow{EC}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}$

$\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EC})\cdot(\overrightarrow{BE} +\overrightarrow{EC})$

$=\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BE} +\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{EC}+\frac{1}{2} \overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{BE}+\frac{1}{2} \overrightarrow{EC}^2=-3\times 4+0+\frac{1}{2} \times 0 +\frac{1}{2} \times 25=0,5$
(en utilisant le produit scalaire de vecteurs colinéaires de sens contraire et le produit scalaire de vecteurs orthogonaux)

Le produit scalaire n'est pas nul donc les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{BC}$ ne sont pas orthogonaux. Les droites $(AI)$ et $(BC)$ ne sont pas perpendiculaires.