Courbes paramètrées 2

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Message par Job » 11 mai 2020, 16:07

Points singuliers

a)$\left\{\begin{array}{rcl}x(t)&=&3t-t^3\\y(t)&=&2t^2-t^4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcl}x'(t)&=&3-3t^2\\y'(t)&=&4t-4t^3\end{array}\right.$

$x'(t)=3(1-t)(1+t)$ et $y'(t)=4t(1-t)(1+t)$

Il y a donc 2 points singuliers pour $t=1$ et $t=-1$

$\left\{\begin{array}{rcl}x"(t)&=&-6t\\y"(t)&=&4-12t^2\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{rcl}x^(3)(t)&=&-6\\y^{(3)}(t)&=&-24t\end{array}\right.$

$(x"(1),y"(1))=(-6,-8)$ et $(x^{(3)}(1),y^{(3)}(1))=(-6,-24)$. Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires.

$(x"(-1),y"(-1))=(6,-8)$ et $(x^{(3)}(-1),y^{(3)}(-1))=(-6,24)$. Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires.

Pour ces 2 points singuliers on a donc $k=2$ et $l=3$. Donc il s'agit de points de rebroussement de 1ère espèce.

b)$\left\{\begin{array}{rcl}x(t)&=&t^2+t^4\\y(t)&=&t^2+t^5\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcl}x'(t)&=&2t+4t^3\\y'(t)&=&2t+5t^4\end{array}\right.$

$x'(t)=2t(1+2t^2)$ et $y'(t)=t(2+5t^3)$

Il y a un seul point singulier : pour $t=0$

$\left\{\begin{array}{rcl}x"(t)&=&2+12t^2\\ y"(t)&=&2+20t^3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcl}x^{(3)}(t)&=&24t\\ y^{(3)}(t)&=&60t^2\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{rcl}x^{(4)}(t)&=&24\\ y^{(4)}(t)&=&120 t\end{array}\right.$

$(x"(0),y"(0))=(2,2)$ et $(x^{(4)},y^{(4)})(0)=(24,0)$. Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires.

0n a donc $k=2$ et $l=4$. Il s'agit d'un point de rebroussement de seconde espèce.

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Re: Courbes paramètrées 2

Message par Job » 12 mai 2020, 16:37

Astroïde $\left\{\begin{array}{tcl}x(t)&=&\cos^3(t)\\y(t)&=&\sin^3(t)\end{array}\right.$[/1)

$x$ et $y$ sont périodiques de période $2\pi$ donc on réduit l'intervalle d'étude à $[-\pi , \pi]$

$\left\{\begin{array}{rcl}x(-t)&=&x(t)\\y(-t)&=&-y(t)\end{array}\right.$ donc on a une symétrie par rapport à l'axe des abscisses et on réduit l'intervalle d'étude à $[0 ,\pi]$

$\left\{\begin{array}{rcl}x(\pi -t)&=&-\cos (t)\\y(\pi -t)&=&y(t)\end{array} \right.$ donc on a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

On réduit l'intervalle d'étude à $I=[0 , \frac{\pi}{2}]$

$\left\{\begin{array}{rcl}x'(t)&=&-3\sin (t) \cos^2(t)\\y'(t)&=&3\cos (t)\sin^2(t)\end{array}\right.$

Donc 2 points singuliers pour $t=0$ et $t=\frac{\pi}{2}$

$\left\{\begin{array}{rcl}x"(t)&=&-3(\cos^3(t)-2\sin^2(t)\cos(t))\\y"(t)&=&3(-\sin^3(t)+2\sin(t)\cos^2(t))\end{array}\right.$

$(x(0),y(0))=(1,0)$ et $(x"(0),y"(0))=(-3,0)$ . Donc au point de coordonnées (1,0) on a une tangente horizontale, c'est-à-dire l'axe des abscisses et puisqu'il y a une symétrie par rapport à l'axe des abscisses , il s'agit d'un point de rebroussement de 1ère espèce.

$(x(\frac{\pi}{2}), y(\frac{\pi}{2}))=(0,1)$ et $(x"(\frac{\pi}{2}),y"(\frac{\pi}{2}))=((0,-3)$ donc au point de coordonnées (0,1) on a une tangente verticale c'est-à-dire l'axe des ordonnées et puisqu'il y a symétrie par rapport à l'axe des ordonnées c'est un point de rebroussement de 1ère espèce.

Quand $t$ décrit l'intervalle $[0, \frac{\pi}{2}]$, $x$ décroît de 1 à 0 et $y$ croît de 0 à 1.

Tangente à la courbe au point $M(t)$


Équation de la tangente en $M(t)$

$\begin{vmatrix} X-x(t)&x'(t)\\Y-y(t)&y'(t)\end{vmatrix}=0$ soit $y'(t)(X-x(t))-x'(t)(Y-y(t))=0$

Pour $Y=0$ on a $y'(t)X-y'(t)x(t)+x'(t)y(t)=0$ donc $\displaystyle X=\frac{y'(t)x(t)-x'(t)y(t)}{y'(t)}=\cos (t)$ en remplaçant et simplifiant.
Donc $A(t)\ :\ (\cos (t),0)$

Si $X=0$ on a $-y'(t)x(t)-x'(t)Y+x'(t)y(t)=0$ donc $\displaystyle Y=\frac{y'(t)x(t)-x'(t)y(t)}{-x'(t)}=\sin(t)$
Donc $B(t)\ :\ (0,\sin (t))$

On a alors $A(t)B(t)=\sqrt{\cos^2(t)+\sin^2(t)}=1$

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Re: Courbes paramètrées 2

Message par Job » 13 mai 2020, 14:20

Cardioïde $\left\{\begin{array}{rcl}x(t)&=&2\cos (t) +\cos (2t)\\y(t)&=&2\sin (t) +\sin (2t)\end{array}\right.$

$x$ et $y$ sont périodiques de période $2\pi$ donc on peut réduire l'intervalle d' étude à $[-\pi , \pi]$

$\left\{\begin{array}{rcl}x(-t)&=&x(t)\\y(-t)&=&-y(t)\end{array}\right.$
donc la courbe admet l'axe des abscisses pour axe de symétrie et on peut réduire l'intervalle d'étude à $[0,\pi]$.

$x'(t)=-2\sin (t) -2\sin (2t)=-2\sin (t) -4\sin (t) \cos (t) = -2\sin (t) (1+2\cos (t)$
$x'(t)=0$ pour $t=0$, $t=\pi$ et $\cos(t)=-\frac{1}{2}$ soit $t=\frac{2\pi}{3}$

$y'(t)=2\cos (t)+2\cos (2t)=2\cos (t) +2(2\cos^2(t)-1)=2(2\cos^2(t)+\cos(t)-1)$
$y'(t)=0$ pour $\cos (t)$ racine de l'équation $2X^2+X-1=0$ soit $\cos(t)=-1$ et $\cos (t) =\frac{1}{2}$ donc pour $t=\pi$ et $t=\frac{\pi}{3}$

Il y a donc 1 point singulier pour $t=\pi$

$\left\{\begin{array}{rcl}x"(t)&=&-2\cos(t)-4\cos (2t)\\y"(t)&=&-2\sin (t) -4\sin (2t)\end{array} \right.$

$(x(\pi),y(\pi))=(-1, 0)$ et $(x"(\pi),y"(\pi))=(-2,0)$ donc la courbe admet au point (-1,0)
l'axe des abscisses comme tangente. Comme l'axe des abscisses est un axe de symétrie pour la courbe, le point (-1,0) est un point de rebroussement de 1ère espèce.

Pour $t$ variant de 0 à $\frac{\pi}{3}$, $x$ décroit et $y$ croît. La courbe passe du point (3,0) au point $(\frac{1}{2}, \frac{3\sqrt 3}{2})$

Quand $t$ passe de $\frac{\pi}{3}$ à $\frac{2\pi}{3}$, $x$ et $y$ décroissent et on passe du point $(\frac{1}{2}, \frac{3\sqrt 3}{2})$ au point $(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt 3}{2})$

Quand $t$ passe de $\frac{2\pi}{3}$ à $\pi$, $x$ croît et $y$ décroît. On passe du point $(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt 3}{2})$ au point (-1,0).

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Re: Courbes paramètrées 2

Message par Job » 15 mai 2020, 14:36

Tractrice $\left\{\begin{array}{rcl}x(t)&=t-\tanh(t)\\y(t)&=\frac{1}{\cosh (t)}\end{array}\right.$

1) $\left\{\begin{array}{rcl} x(-t)&=&-t+\tanh(t)=-x(t)\\y(-t)&=& y(t)\end{array}\right.$ donc la courbe admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.
Donc il suffit d'étudier sue ${\mathbb R}^+$ et compléter par symétrie

$\left\{\begin{array}{rcl}x'(t)&=&1-(1-\tanh^2(t))=\tanh^2(t)\\y'(t)&=&\frac{-\sinh(t)}{\cosh^2(t)}\end{array}\right.$

Il y a donc un point singulier pour $t=0$. Le point a pour coordonnées (0,1).

$\left\{\begin{array}{rcl}x"(t)&=&2(1-\tanh^2(t))\tanh(t)\\y"(t)&=&-\frac{\cosh^3(t)-2\sinh^2(t)\cosh(t)}{\cosh^4(t)}=-\frac{\cosh^2(t)-2\sinh^2(t)}{\cosh^3(t)}\end{array}\right.$

$(x"(0),y"(0))=(0,1)$ donc la tangente au point (0,1) est l'axe des ordonnées et comme l'axe des ordonnées est axe de symétrie pour la courbe, le point (0,1) est un point de rebroussement de 1ère espèce.

Sur ${\mathbb R}^+$, $x$ croît et $y$ décroît.

$\displaystyle \lim_{t\to +\infty} x(t)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} y(t)=0$ donc la courbe admet l'axe des abscisses pour asymptote.

2) Équation de la tangente au point $M(t)\ t\neq 0$ :

$\begin{vmatrix} X-(t-\tanh(t))&\tanh^2(t)\\Y-\frac{1}{\cosh(t)}&-\frac{\sinh(t)}{\cosh^2(t)}\end{vmatrix} =0$

Pour $Y=0$, on a $-\frac{\sinh(t)}{\cosh^2(t)}(X-(t-\tanh(t)) -\tanh^2(t)(-\frac{1}{\cosh(t})=0$

Ce qui donne après calculs $X=t$ donc $A(t)\ :\ (t,0)$

$\displaystyle A(t)M(t)=\sqrt{\tanh^2(t)+\frac{1}{\cosh^2(t)}}=\sqrt \frac{\sinh^2(t)+1}{\cosh^2(t)}=\sqrt 1=1$

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Re: Courbes paramètrées 2

Message par Job » 16 mai 2020, 15:29

Courbe définie en coordonnées polaires : $\rho(\theta)=1+2\cos (2\theta)$

$\rho$ admet $\pi$ pour période.

$\rho(-\theta) =\rho(\theta)$ donc la courbe présente une symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
Il suffit donc d'étudier pour $\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]$

$\rho'(\theta) =-4\sin (2\theta)$. nul pour $\theta =0$ et $\theta=\frac{\pi}{2}$ et $\rho'(\theta)<0$ sur $]0,\frac{\pi}{2}[$ donc $\rho$ est décroissante.

En un point $M(\theta)\neq O$, en appelant $\vec u$ le vecteur unitaire dirigé par $\overrightarrow{OM(\theta)}$ et $\vec v$ le vecteur unitaire tel que $(\vec u, \vec v) =\frac{\pi}{2}$, la tangente en $M(\theta)$ a est dirigée par un vecteur de coordonnées $(\rho'(\theta), \rho (\theta))$

Différents points avec certaines tangentes remarquables
* $\rho(0)=3$ et $\rho'(0)=0$ donc on démarre au point de coordonnées (3,0) avec une tangente parallèle à l'axe des ordonnées.

* $\rho(\frac{\pi}{6})=2$

* $\rho(\frac{\pi}{4})=1$

* $\rho(\frac{\pi}{3})=0$ donc on est au point O et dans ce cas particulier la tangente est la droite formant un angle de $\frac{\pi}{3}$ avec l'axe des abscisses.

* $\rho(\frac{\pi}{2})=-1$ et $\rho'(\frac{\pi}{2})0$ donc on est au point (0,-1) et la tangente est perpendiculaire à $\overrightarrow{OM(\frac{\pi}{2}})$ donc parallèle à l'axe des abscisses.

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