Courbes paramétres

Fiches récapitulatives et rappels de cours.
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Courbes paramétres

Message par Job » 29 avril 2020, 14:23

Étude au voisinage de 0[/b]

Je désigne par $V_1$ le vecteur de coordonnées $(x'(0),y'(0))$ par $V_2$ le vecteur de coordonnées $(x"0,y"(0))$ et par $V_3$ le vecteur de coordonnées $(x^{(3)}(0), y^{(3)} (0))$

I. $(x(t),y(t))=(t-t^3+2t^4, -2t+2t^3+t^5)$

$(x'(t),y'(t))=(1-3t^2+8t^3,-2+6t^2+5t^4)$ donc $V_1\ :\ (1,-2)\neq (0,0)$
Par conséquent il s'agit d'un point régulier.

2. $(x(t),y(t))=(t^2+2t^4, -t^2+2t^3+4t^5)$

$(x'(t),y'(t))=(2t+8t^3, -2t+6t^2+20t^4)$ donc $V_1\ :\ (0,0)$
Il s'agit donc f'un point stationnaire.
$(x"(t),y"(t))=(-2+24t^2, -2+12t+80t^3)$ donc $V_2\ :\ (-2,-2)$
$(x^{3}(t), y^{3}(t))= (48 t , 12+240t^2)$ donc $V_3\ :\ (0,12)$

$V_2$ et $V_3$ ne sont pas colinéaires.Avec les notations classiques $p=2$ et $q=3$ donc il s'agit d'un point de rebroussement de 1ère espèce.

3. $(x(t),y(t))= (t^2-3t^4, -t^2+2t^4-t^6)$

$(x'(t),y'(t))=(2t-12t^3, -2t+8t^3-6t^5)$ donc $V_1\ :\ (0,0)$
$(x"(t),y"(t))=(-2-36t^2, -2+24t^2-30t^4)$ donc $V_2\ :\ (-2,-2)$
$(x^{(3)}(t), y^{(3)}(t))=(-72t, 24-120t^3)$ donc $V_3\ :\ (0,24)$

$V_2$ et $V_3$ ne sont pas colinéaires donc $p=2$ et $q=3$. Il s'agit d'un point de rebroussement de première espèce.

4. $(x(t),y(t))=(5t-t^2-3t^5, -10t+2t^2-t^5)$

$(x'(t),y'(t))=(5-2t-15t^4, -10+4t-5t^4)$ donc $V_1\ :\ (5,-10)$
$(x"(t),y"(t))=(-2-60t^3, 4-20t^3)$ donc $V_2\ :\ (-2,4)$
$V_1$ et $V_2$ sont colinéaires donc on poursuit.
$(x^{(3)}(t),y^{(3)}(t))=(-180t^2,-60t^2)$ donc $V_3\ :\ (0,0)$
$(x^{(4)}(t),y^{(4)}(t))=(-360 t , -120 t)$ donc $V_4\ :\ (0,0)$
$(x^{(5)}(t),y^{(5)}(t))=(-360 , -120 )$ donc $V_5\ :\ (-360,-120)$

$V_1$ et $V_5$ ne sont pas colinéaires donc $p=1$ et $q=5$ . Il s'agit d'un point d'inflexion.

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Re: Courbes paramétres

Message par Job » 30 avril 2020, 15:37

Étude de la courbe $x(t)=t^2\ ,\ y(t)=t^4$

$x$ et $y$ sont définies sur $\mathbb R$ et sont des fonctions paires donc toute la courbe est obtenue en faisant varier $t$ dans ${\mathbb R}^+$

On a $t^2\geq 0$ et $y(t)=(x(t))^2$ donc la courbe est la demi-parabole d'équation $y=x^2$ avec $x\geq 0$


Étude de la courbe $x(t)=t^2\ ,\ y(t)=t^4-t^5$

$x'(t)=2t$ s'annule pour $t=0$
$y'(t)=4t^3-5t^4=t^3(4-5t)$ s'annule pour $t=0$ et $t=\frac{4}{5}$

Pour $t\in ]-\infty, 0[$,$x'$ et $y'$ sont négatifs donc $x$ et $y$ décroissent
Pour $t\in ]0, \frac{4}{5}[$, $x'>0$ et $y'>0$ donc $x$ et $y$ croissent
Pour $t\in ] \frac{4}{5}, +\infty[$, $x'>0$ et $y'<0$ donc $x$ croît et $y$ décroît.

Pour $t=\frac{4}{5}$ on a le point de coordonnées environ $(0,64 ; 0,08)$

Pour $t=0$ on a un point non régulier O car $(x'(0), y'(0))=(0,0)$
$x"(t)=2$ et $y"(t)=12t^2-20t^3$ donc $(x"(0),y"(0))=(2,0)$
$x^{(3)} (t)=0$ et $y^{(3)}(t)=24t-60t^2$ donc $(x^{(3)}(0),y^{(3)}(0))=(0,0)$
$x^{(4)} (t)=0$ et $y^{(4)}(t)=24-120t^2$ donc $(x^{(4)}(0),y^{(4)}(0))=(0,24)$
On a donc $p=2$ et $q=4$ , il s'agit d'un point de rebroussement de seconde espèce avec comme tangente l'axe des abscisses.

Branches infinies
Quand $t$ tend vers $+ \infty$, $x$ tend vers $+\infty$ et $y$ tend vers $-\infty$
Quand $t$ tend vers $- \infty$, $x$ tend vers $+\infty$ et $y$ tend vers $+\infty$
D'autre part $\frac{y(t)}{x(t)}=t^2-t^3$.
Quand $t$ tend vers $\pm \infty$, $\frac{y(t)}{x(t)}$ tend vers $\pm \infty$.
On a donc des branches paraboliques de direction asymptotique $(y'y)$.

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Re: Courbes paramétres

Message par Job » 01 mai 2020, 15:17

Courbe paramètre : $x(t)=t+\frac{1}{t}\ ;\ y(t)=3t +\frac{1}{t^3}$

$x$ et $y$ sont des fonctions impaires donc il suffit d'étudier pour $t>0$ et compléter par symétrie par rapport au point O.

$x'(t)=1-\frac{1}{t^2}=\frac{t^2-1}{t^2}$ et $y'(t)=3-\frac{3}{t^4} =\frac{3(t^4-1)}{t^4}$.

Les 2 fonctions dérivées s'annulent pour $t=1$ avec $(x(1),y(1))=(2, 4)$

Sur $]0,1[$, $x$ et $y$ sont décroissantes et sur $]1, +\infty[$ $x$ et $y$ sont croissantes.

Branches infinies
$\displaystyle \lim_{t\to 0^+} x(t) =\lim_{t\to 0^+} y(t) =+\infty$
$\displaystyle \frac{y(t)}{x(t)}=\frac{3(t^4+1)}{t^2(t^2+1)}$
$\displaystyle \lim_{t\to 0^+}\frac{y(t)}{x(t)}=+\infty$ donc on a une branche parabolique de direction asymptotique $(y'y)$

$\displaystyle \lim_{t\to +\infty} x(t) =\lim_{t\to +\infty} y(t) =+\infty$
$\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \frac{y(t)}{x(t)}=3$
$\displaystyle y(t)-3x(t)=\frac{1}{t^3}-\frac{3}{t}=\frac{1-3t^2}{t^3}$
$\displaystyle \lim_{t\to +\infty}\frac{1-3t^2}{t^3}=0$
Donc la courbe admet la droite d'équation $y=3x$ pour asymptote.

Étude au voisinage du point $(x(1),y(1))=(2,4)$
$(x'(1),y'(1))=(0,0)$
$x"(t)=\frac{2}{t^3}$ et $y"(t)=\frac{12}{t^5}$ donc $(x"(1),y"(1))=(2,12)$
$x^{(3)}(t)=-\frac{6}{t^4}$ et $y^{(3)}(t)= -\frac{60}{t^6}$ donc $(x^{(3)}(1), y^{(3)}(1))= (-6,-60)$
On a donc $p=2$ et $q=3$ donc il s'agit d'un point d'inflexion et la tangente est dirigée par un vecteur (2,12).

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Re: Courbes paramétres

Message par Job » 02 mai 2020, 14:03

Courbe en polaire : $\rho (\theta) =\sin \theta$

La fonction est périodique de période $2\pi$donc il suffit d'étudier sur un intervalle $[0 ,2\pi]$

$\rho(\pi +\theta) =\sin (\pi +\theta) =-\sin \theta=-\rho (\theta)$ donc toute la courbe est obtenue pour $\theta\in [0,\pi]$

$\rho(\pi -\theta) =\sin (\pi -\theta) =\sin \theta=\rho (\theta)$ donc la courbe admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie et on peut restreindre l'intervalle d'étude à $[0, \frac{\pi}{2}]$

$\rho'(\theta) =\cos \theta$ positif sur $[0, \frac{\pi}{2}]$ donc $\rho$ est croissante avec $\rho(0)=0$ et $\rho(\frac{\pi}{2})=1$

Au point $O$ on a une tangente horizontale.

Soit $\alpha$, l'angle formé par $(O, M(\frac{\pi}{2}))$ avec la tangente en $M(\frac{\pi}{2})$

$\displaystyle \tan (\alpha)=\frac{\rho(\frac{\pi}{2})}{\rho '(\frac{\pi}{2})}=\frac{1}{0} $ donc la tangente au point $M(\frac{\pi}{2})$ est perpendiculaire à $[0,M(\frac{\pi}{2})]$ soit parallèle à l'axe des abscisses.

Pour le tracé en prenant$\theta =\frac{\pi}{6}$ et $\theta=\frac{\pi}{3}$ puis la symétrie , on obtient un tracé satisfaisant.

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