Composée de 2 fonctions

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Job
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Composée de 2 fonctions

Message par Job » 09 novembre 2013, 16:48

Définition

$f$ et $g$ étant 2 fonctions, la fonction $h=g \circ f$ est la fonction définie pour $x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$ par $g\circ f (x)=g(f(x))$

Attention à l'ordre. En général $g \circ f\neq f \circ g$

Étude d'un exemple. : $f(x)=\frac{2}{x-3}$ et $g(x)=\sqrt{x+1}$
On pose $h=g\circ f$

$x\in D_f$ si et seulement si $x\neq 3$

$f(x)\in D_g$ si et seulement si si et seulement si $f(x)+1\geq 0$ soit $\frac{2}{x-3}+1\geq 0$
$\frac{2}{x-3}+1=\frac{2+x-3}{x-3}=\frac{x-1}{x-3}$
À l'aide d'un tableau de signes , on obtient $\frac{x-1}{x-3}\geq 0$ pour $x\in ]-\infty ,1]\cup ]3+\infty[$

Donc $D_h=]-\infty ,1]\cup ]3+\infty[$

$h(x)=\sqrt{f(x)+1}=\sqrt{\frac{2}{x-3}+1}=\sqrt{\frac{x-1}{x-3}}$

Limites de $h$ aux bornes de l'ensemble de définition

$\lim_{x\to +\infty} (x-3)=+\infty$ donc $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$

En 0, $g$ a pour limite 1 donc $\lim_{x\to +\infty}h(x)=\lim_{f(x)\to 0} g(f(x))=1$

Quand $x$ tend vers $-\infty$ on a le même résultat.

$\lim_{x\to 3\ et\ x>3} (x-3)=0^+$ donc $\lim_{x\to 3\ et\ x>3} f(x)=+\infty $

En $+\infty$, $g$ a pour limite $+\infty$ donc $\lim_{x\to 3\ et\ x>3} h(x)=\lim_{f(x)\to +\infty} g(f(x))=+\infty$

Verrouillé