Définition
$f$ et $g$ étant 2 fonctions, la fonction $h=g \circ f$ est la fonction définie pour $x\in D_f$ et $f(x)\in D_g$ par $g\circ f (x)=g(f(x))$
Attention à l'ordre. En général $g \circ f\neq f \circ g$
Étude d'un exemple. : $f(x)=\frac{2}{x-3}$ et $g(x)=\sqrt{x+1}$
On pose $h=g\circ f$
$x\in D_f$ si et seulement si $x\neq 3$
$f(x)\in D_g$ si et seulement si si et seulement si $f(x)+1\geq 0$ soit $\frac{2}{x-3}+1\geq 0$
$\frac{2}{x-3}+1=\frac{2+x-3}{x-3}=\frac{x-1}{x-3}$
À l'aide d'un tableau de signes , on obtient $\frac{x-1}{x-3}\geq 0$ pour $x\in ]-\infty ,1]\cup ]3+\infty[$
Donc $D_h=]-\infty ,1]\cup ]3+\infty[$
$h(x)=\sqrt{f(x)+1}=\sqrt{\frac{2}{x-3}+1}=\sqrt{\frac{x-1}{x-3}}$
Limites de $h$ aux bornes de l'ensemble de définition
$\lim_{x\to +\infty} (x-3)=+\infty$ donc $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
En 0, $g$ a pour limite 1 donc $\lim_{x\to +\infty}h(x)=\lim_{f(x)\to 0} g(f(x))=1$
Quand $x$ tend vers $-\infty$ on a le même résultat.
$\lim_{x\to 3\ et\ x>3} (x-3)=0^+$ donc $\lim_{x\to 3\ et\ x>3} f(x)=+\infty $
En $+\infty$, $g$ a pour limite $+\infty$ donc $\lim_{x\to 3\ et\ x>3} h(x)=\lim_{f(x)\to +\infty} g(f(x))=+\infty$