Suites mélangées

[Job]

Soit $(u_n),\ (v_n)$ deux suites réelles définies par :
$\left\{\begin{array}{rcl}u_1&=&12\\ \forall n \in {\mathbb N}^*;\ u_{n+1}&=&\frac{u_n+2v_n}{3}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}v_1&=&1\\ \forall n \in {\mathbb N}^*;\ v_{n+1}&=&\frac{u_n+3v_n}{4}\end{array}\right.$

1° Pour tout entier $n\in {\mathbb N}^*$, on pose $w_n=v_n-u_n$
a) Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique.
b) Exprimer $w_n$ en fonction de $n$
c) Justifier que la suite $(w_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

2° Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et que la suite $(v_n)$ est croissante.

3° Démontrer que pour tout $n\in {\mathbb N}^*$, on a $u_n\geq v_n$ .
En déduire que pour tout $n\in {\mathbb N}^*\ :\ u_1\geq u_n\geq v_n\geq v_1$

4° Déduire de ce qui précède que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite.

5° Pour tout entier $n\in {\mathbb N}^*$, on pose $t_n=3u_n+8v_n$
a) Démontrer que $(t_n)$ est une suite constante.
b) En déduire la valeur de la limite commune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes.

[Gaspard]

Exercice sympa !

Je donne juste le début.

En calculant W(n+1) = V(n+1) - U(n+1) on trouve que W(n+1) = [V(n) - U(n)]/12 = W(n)/12.

La suite W(n) est donc une suite géométrique de raison 1/12 et de premier terme W(1) = -11.

On peut donc exprimer W(n) en fonction de n de la manière suivante : W(n) = -11*(1/12)^(n-1).

La raison 1/12 étant inférieure à 1, la suite W(n) est convergente et sa limite est zéro.

Maintenant à vous de jouer !