Calculs dans un repère du plan (tous niveaux)

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Job
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Calculs dans un repère du plan (tous niveaux)

Message par Job » 24 août 2013, 16:37

A. Dans n'importe quel repère

1. Coordonnées d'un vecteur

Le plan étant muni d'un repère $(O,\vec \imath, \vec \jmath)$ dire que le vecteur $\vec V$ a pour coordonnées $(a,b)$ signifie que $\vec V =a\vec \imath +b\vec \jmath$

Si un point $M$ a pour coordonnées $(x,y)$, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a pour coordonnées $x,y)$

Soient deux points $A$ et $B$, le vecteur $\overrightarrow{AB} $ a pour coordonnées $(x_B-x_A,y_B-y_A)$

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées respectives sont égales.

2. Opérations sur les vecteurs

Soient deux vecteurs : $\vec U\ (a,b)$ et $\vec V\ (a',b')$ et $k$ un réel.

Le vecteur $k\vec U$ a pour coordonnées $(ka,kb)$.

Le vecteur $\vec U +\vec V$ a pour coordonnées $(a+a', b+b')$

3. Condition de colinéarité de deux vecteurs

Soient deux vecteurs $\vec U\ (X,Y)$ et $\vec V\ (X',Y')$

$\vec U$ et $\vec V$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionelles, c'est-à-dire si il existe un réel k tel que $\left\{\begin{array}{r c l}X'&=&kX \\ Y'&=&kY\end{array}\right.$ soit encore $XY'-X'Y=0$.

Applications
Pour démontrer que des droites sont parallèles, on peut démontrer qu'elles possèdent des vecteurs directeurs colinéaires.

Pour démontrer que trois points $A, B, C$ sont alignés, on peut démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

4. Coordonnées du milieu d'un segment

Le milieu du segment $[A,B]$ a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2}\ ,\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$

5. Équation d'une droite

a) Équation d'une droite passant par deux points donnés

* Si $A$ et $B$ n'ont pas la même abscisse, la droite $(AB)$ a pour coefficient directeur $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

$a$ étant calculé, on utilise les coordonnées d'un des deux points pour calculer $b$.

Exemple : Soient $A\ (1,5)$ et $B\ (-1,1)$

La droite $(AB)$ a pour coefficient directeur $a=\frac{1-5}{-1-1}=\frac{-4}{-2}=2$. $(AB)$ a une équation de la forme $y=2x+b$.

Les coordonnées de $A$ vérifient cette équation soit : $5=2\times 1+b$ d'où $b=3$

$(AB)$ a pour équation $y=2x+3$

Remarque : Si la droite $(AB)$ est parallèle à l'axe des abscisses alors son coefficient directeur $a=0$ et la droite a une équation de la forme $y=b$ où $b$ est l'ordonnée commune de $A$ et $B$

* Si $A$ et $B$ ont la même abscisse, la droite $(AB)$ est parallèle à l'axe des ordonnées. Elle n'a pas de coefficient directeur. Son équation est de la forme $x=k$, $k$ étant l'abscisse commune de $A$ et $B$

b) Droites parallèles

Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

B. Dans un repère orthonormé

1. Produit scalaire

Soient deux vecteurs $\vec U\ (X,Y)$ et $\vec V\ (X',Y')$.

$\vec U \cdot \vec V = XX'+YY'$

$||\vec U||=\sqrt{X^2+Y^2}$

2. Condition d'orthogonalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec U\ (X,Y)$ et $\vec V\ (X',Y')$ sont orthogonaux si et seulement leur produit scalaire est nul soit $XX'+YY'=0$

3. Distance de deux points

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

4. Droites perpendiculaires

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement elles admettent des vecteurs directeurs respectifs orthogonaux.

Deux droites (non parallèles aux axes) sont perpendiculaires si et seulement le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.

Exemple : Soit la droite $D$ d'équation $y=-2x+3$ et $A$ le point de coordonnées $(2,1)$. Déterminer une équation de la droite $\Delta$ perpendiculaire à $D$ et passant par $A$.

$a$ coefficient directeur de $\Delta$ vérifie $a\times (- 2)=-1$ donc $a=\frac{1}{2}$

$\Delta$ a une équation de la forme $y=\frac{1}{2} x +b$.

Les coordonnées de $A$ vérifient cette équation soit $1=\frac{1}{2} \times 2 +b$ d'où $b=0$.

$\Delta$ a pour équation $y=\frac{1}{2} x$.

Verrouillé