Suites mélangées

Fiches récapitulatives et rappels de cours.
Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2002
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Suites mélangées

Message par Job » 23 juin 2016, 15:24

Soit $(u_n),\ (v_n)$ deux suites réelles définies par :
$\left\{\begin{array}{rcl}u_1&=&12\\ \forall n \in {\mathbb N}^*;\ u_{n+1}&=&\frac{u_n+2v_n}{3}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{rcl}v_1&=&1\\ \forall n \in {\mathbb N}^*;\ v_{n+1}&=&\frac{u_n+3v_n}{4}\end{array}\right.$

1° Pour tout entier $n\in {\mathbb N}^*$, on pose $w_n=v_n-u_n$
a) Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique.
b) Exprimer $w_n$ en fonction de $n$
c) Justifier que la suite $(w_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

2° Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et que la suite $(v_n)$ est croissante.

3° Démontrer que pour tout $n\in {\mathbb N}^*$, on a $u_n\geq v_n$ .
En déduire que pour tout $n\in {\mathbb N}^*\ :\ u_1\geq u_n\geq v_n\geq v_1$

4° Déduire de ce qui précède que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite.

5° Pour tout entier $n\in {\mathbb N}^*$, on pose $t_n=3u_n+8v_n$
a) Démontrer que $(t_n)$ est une suite constante.
b) En déduire la valeur de la limite commune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes.

Répondre