Une suite est géométrique lorsque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre non nul.
La suite $(u_n)$ est géométrique si il existe un nombre q non nul tel que, pour tout $n$ tel que $u_n$ soit défini, $u_{n+1}=q\times u_n$
1. Reconnaître une suite géométrique
Si on connaît les 3 premiers termes et si $\frac{u_2}{u_1}\neq \frac{u_1}{u_0}$ la suite n'est pas géométrique.
Si il y a égalité, on peut supposer que la suite est géométrique mais il faut le démontrer en montrant que pour tout $n$ tel que $u_n$ soit défini, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est un réel non nul ne dépendant pas de $n$.
2. Calcul d'un terme quelconque
Si le premier terme de la suite est $u_0$ alors pour tout rang $n$, $u_n=u_0\times q^n$
Si le premier terme de la suite est $u_1$ alors pour tout rang $n$, $u_n=u_1\times q^{n-1}$
3. Sens de variation
Si $q<0$ la suite est non monotone car les termes sont alternativement positifs et négatifs.
Si $q=1$ la suite est constante.
Si $q>0$ et $q\neq 1$ la suite est strictement monotone. Tous les termes sont de même signe. Le sens de variation dépend du signe du premier terme et du fait que $q>1$ ou $0<q<1$.
4. Limite
Si $-1<q<1$, la suite a pour limite 0. On dit que la suite converge vers 0.
Si $q>1$, la suite a une limite infinie : $+\infty$ si le premier terme est positif ; $-\infty$ si le premier terme est négatif.
Si $q\leq -1$, la suite n'a pas de limite.
5. Somme de termes consécutifs
Si $q=1$, tous les termes étant égaux au premier, la somme est égale au premier terme que multiplie le nombre de termes.
Soit $q\neq 1$.
$S_n=\sum\limits_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+\cdots +u_n =u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (La somme comporte $n+1$ termes.)
$S'_n=\sum\limits_{k=1}^n u_k=u_1+\cdots +u_n =u_1\times \frac{1-q^{n}}{1-q}$ (La somme comporte $n$ termes.)
Cas particulier : Pour un nombre $q\neq 1$, $1+q+q^2+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Si $-1<q<1$ $\lim\limits_{n\to +\infty}S_n=\frac{u_0}{1-q}$
De même, si $-1<q<1$ $\lim\limits_{n\to +\infty}S'_n=\frac{u_1}{1-q}$