Nombres complexes

[nico033]

Bonsoir;

Pourriez vous m'aider plus particulièrement sur la question 3) b ) c) et d) car le reste je pense avoir réussi

merci de votre aide ;

[Job]

Bonjour

$z_1=2e^{i\frac{3\pi}{4}}$

3. a. $OA=2$ et $OB=|z_1|=2$ donc le triangle $OAB$ est isocèle.
$(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\arg(z_1)=\frac{3\pi}{4}$ donc $OAB$ est direct.

$(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OI})=\frac{1}{2} \times \frac{3\pi}{4}=\frac{3\pi}{8}$

3. b. $z_I=\frac{1}{2} (z_A+z_B)=\frac{1}{2} (2+2e^{i\frac{3\pi}{4}})=1+e^{i\frac{3\pi}{4}}=1-\frac{\sqrt 2}{2} +i\frac{\sqrt 2}{2}$

$|z_I|=\sqrt{(1-\frac{\sqrt 2}{2})^2+(\frac{\sqrt 2}{2})^2}=\sqrt{2-\sqrt 2}$

3. c. $\cos \frac{3\pi}{8}=\frac{Re(z_I)}{|z_I|}=\frac{1-\frac{\sqrt 2}{2}}{\sqrt{2-\sqrt 2}}=\frac{2-\sqrt 2}{ 2\sqrt {2-\sqrt 2}}=\frac{\sqrt {2-\sqrt 2}}{2}$

$\sin \frac{3\pi}{8} =\frac{Im(z_I)}{|z_I|}=\frac{\frac{\sqrt 2}{2}}{\sqrt {2-\sqrt 2}}=\frac{\sqrt 2(\sqrt {2+\sqrt 2})}{ 2(\sqrt{2-\sqrt 2})(\sqrt{2+\sqrt 2})}=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}$