exercices complexes

[nico033]

Bonsoir;

Un 2ème exercice sur les complexes difficiles; pourriez vous me donner des pistes svp ;

Bonne soirée et merci de votre aide:

[nico033]

Bonjour;

L'équation (E) est : z^5 -1=0
L'équation (E1) s'est z^4+z^3+z^2+z+1 = 0

On pose Z = z +(1/z)
(E2): Z^2+Z-1 =0

[Job]

Bonjour

1. $|z^5|=|z|^5=1$ donc $|z|=1$. Les images des solutions sont donc situées sur le cercle trigonométrique.

2.a. On développe le produit $(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)$ et on trouve $z^5-1$. IL n'y a plus qu'à écrire qu'un produit de facteurs est nul si un des facteurs est nul.

b. On remplace $z$ par 0 et l'équation n'est pas vérifiée.
Puisque 0 n'est pas solution, on obtient une équation équivalente en divisant tous les termes par $z^4$
$z$ solution de $(E_1) \Longleftrightarrow \frac{z^4}{z^4}+\frac{z^3}{z^4}+\frac{z^2}{z^4}+\frac{z}{z^4}+\frac{1}{z^4}=0 \Longleftrightarrow 1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^4}=0 \Longleftrightarrow \frac{1}{z}$ est solution de $(E_1)$.

c. En divisant tous les termes de $(E_1)$ par $z^2$, on obtient :
$(E_2) \Longleftrightarrow z^2+z+1+\frac{1}{z} +\frac{1}{z^2}=0$

$Z$ solution de $(E_2) \Longleftrightarrow (z+\frac{1}{z})^2 +(z+\frac{1}{z} ) -1 =0 \Longleftrightarrow z^2+\frac{1}{z^2}+2+z+\frac{1}{z} -1=0$
D'où l'équivalence demandée.

d. $\Delta= 1+4=5$ ; $Z_1=\frac{-1-\sqrt 5}{2}$ ; $Z_2=\frac{-1+\sqrt 5}{2}$
$z+\frac{1}{z}=\frac{-1-\sqrt 5}{2} \Longleftrightarrow 2z^2 +(1+\sqrt 5)z +2=0$
$\Delta = (1+\sqrt 5)^2 -16=1+5+2\sqrt 5 -16=-10+2\sqrt 5=(i\sqrt{10-2\sqrt 5})^2$
$z_1=\frac{-1-\sqrt 5 -i\sqrt{10-2\sqrt 5}}{4}\ ;\ z_2=\frac{-1-\sqrt 5+i\sqrt{10-2\sqrt 5}}{4}$
On fait le même travail avec la valeur de $Z_2$
$z_3=\frac{\sqrt 5-1-i\sqrt{10+2\sqrt 5}}{4}\ ; z_4=\frac{\sqrt 5-1+i\sqrt{10+2\sqrt 5}}{4}$
Pour obtenir les solutions de $(E)$, on ajoute la solution 1.

3. Rayon de $\Gamma=\Omega I =\sqrt{(\frac{1}{4})^2 +(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{16}}=\frac{\sqrt 5}{4}$
Abscisse de $J\ :\ -\frac{1}{4} +\frac{\sqrt 5}{4}=\frac{\sqrt 5 -1}{4}$
$B$ est donc le point dont l'abscisse est la partie réelle de $z_3$ et de $z_4$
Ordonnée de $B$ : $\sqrt{1 -(\frac{\sqrt 5 -1}{4})^2}=\sqrt{\frac{16-5-1+2\sqrt 5}{16}}=\frac{10+2\sqrt 5}{4}$ partie imaginaire de $z_4$
On fait le même type de calcul pour les autres points.