Bonjour ,
s'il vous plait , j'ai un grand problème avec le changement de variable .
limites
Re: limites
Bonjour
Votre question est un peu vague. IL vaudrait mieux m'indiquer quelques limites qui vous posent des problèmes.
Voici quelques exemples avec la fonction exponentielle.
Lors de l'étude de la limite d'une fonction comportant une fonction composée $ x\to e^{u(x)}$ et présentant une forme indéterminée :
- si $ \lim_* u(x)=+\infty$ se ramener à $\lim_{X\to +\infty} \frac {e^X}{X}=+\infty$
- si $ \lim_* u(x)=-\infty$ se ramener à $ \lim_{X\to -\infty} Xe^X =0$
- si $ \lim_* u(x)=0$ se ramener à $ \lim_{X\to 0} \frac {e^X-1}{X}=1$
Exemple 1 : Limite en $-\infty$ de la fonction $f$ définie sur ${\mathbb R}\ par\ f(x)=\frac {3}{4} x +e^{-\frac {3}{4}x +\frac {3}{2}}$
$u(x)=-\frac {3}{4} x +\frac {3}{2}\ ,\ \lim_{x\to -\infty} (-\frac {3}{4} x +\frac {3}{2})=+\infty $
On est donc dans le premier cas. Soit $X=u(x)=-\frac {3}{4} x +\frac {3}{2} \ donc\ \frac {3}{4} x =-X+\frac {3}{2} $
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{X\to +\infty} (-X+\frac {3}{2} +e^X) $
Puisque $X$ tend vers + l'infini, il faut faire apparaître $\frac {e^X}{X}$
$-X+\frac {3}{2} +e^X=X(-1+\frac {3}{2X}+\frac {e^X}{X}) $
$\lim_{X\to +\infty} \frac {3}{2X} =0\ ;\ \lim_{X\to +\infty} \frac {e^X}{X}=+\infty\ donc\ \lim_{X\to +\infty} X(-1+\frac {3}{2X}+\frac {e^X}{X})=+\infty$
Exemple 2 : Limite en 0 de la fonction f définie sur $ {\mathbb R}^*\ par\ f(x)=\frac {x}{e^{2x}-1} $
On pose $X=u(x)=2x$.
$\frac {x}{e^{2x}-1}=\frac {\frac {X}{2}}{e^X-1}=\frac {1}{2} \times \frac {x}{e^X-1}=\frac {1}{2} \times \frac {1}{\frac {e^X-1}{X}} $
$\lim_{X\to 0} \frac {e^X-1}{x} =1\ donc\ \lim_{x\to 0} f(x) =\lim_{X\to 0} \frac {1}{2} \times \frac {1}{\frac {e^X-1}{X}}=\frac {1}{2} $
Votre question est un peu vague. IL vaudrait mieux m'indiquer quelques limites qui vous posent des problèmes.
Voici quelques exemples avec la fonction exponentielle.
Lors de l'étude de la limite d'une fonction comportant une fonction composée $ x\to e^{u(x)}$ et présentant une forme indéterminée :
- si $ \lim_* u(x)=+\infty$ se ramener à $\lim_{X\to +\infty} \frac {e^X}{X}=+\infty$
- si $ \lim_* u(x)=-\infty$ se ramener à $ \lim_{X\to -\infty} Xe^X =0$
- si $ \lim_* u(x)=0$ se ramener à $ \lim_{X\to 0} \frac {e^X-1}{X}=1$
Exemple 1 : Limite en $-\infty$ de la fonction $f$ définie sur ${\mathbb R}\ par\ f(x)=\frac {3}{4} x +e^{-\frac {3}{4}x +\frac {3}{2}}$
$u(x)=-\frac {3}{4} x +\frac {3}{2}\ ,\ \lim_{x\to -\infty} (-\frac {3}{4} x +\frac {3}{2})=+\infty $
On est donc dans le premier cas. Soit $X=u(x)=-\frac {3}{4} x +\frac {3}{2} \ donc\ \frac {3}{4} x =-X+\frac {3}{2} $
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{X\to +\infty} (-X+\frac {3}{2} +e^X) $
Puisque $X$ tend vers + l'infini, il faut faire apparaître $\frac {e^X}{X}$
$-X+\frac {3}{2} +e^X=X(-1+\frac {3}{2X}+\frac {e^X}{X}) $
$\lim_{X\to +\infty} \frac {3}{2X} =0\ ;\ \lim_{X\to +\infty} \frac {e^X}{X}=+\infty\ donc\ \lim_{X\to +\infty} X(-1+\frac {3}{2X}+\frac {e^X}{X})=+\infty$
Exemple 2 : Limite en 0 de la fonction f définie sur $ {\mathbb R}^*\ par\ f(x)=\frac {x}{e^{2x}-1} $
On pose $X=u(x)=2x$.
$\frac {x}{e^{2x}-1}=\frac {\frac {X}{2}}{e^X-1}=\frac {1}{2} \times \frac {x}{e^X-1}=\frac {1}{2} \times \frac {1}{\frac {e^X-1}{X}} $
$\lim_{X\to 0} \frac {e^X-1}{x} =1\ donc\ \lim_{x\to 0} f(x) =\lim_{X\to 0} \frac {1}{2} \times \frac {1}{\frac {e^X-1}{X}}=\frac {1}{2} $
Re: limites
Merci pour tout ces exemples mais on pas encore vu la fonction exponentielle en classe alors ça sera mieux avec un exemple de fonction trigonométrique .
Re: limites
Fonctions trigonométriques
A connaître 2 formes indéterminées classiques :
$ \lim_{x\to 0} \frac {\sin x}{x}=1\ et\ \lim_{x\to 0} \frac {\cos x-1}{x}=0 $
En présence d'une forme indéterminée en 0, on essaie de se ramener à une de ces 2 formes
Exemple 1 : Limite en 0 de la fonction f définie sur R privé de 0 par $f(x)=\frac {\sin (2x)}{3x} $
Si x tend vers 0, il en est de même de de 2x donc on fait apparaître 2x au dénominateur pour pouvoir utiliser la première des formes indéterminées.
$f(x)=\frac {\sin (2x)}{2x}\times \frac {2x}{3x}=\frac {\sin (2x)}{2x} \times \frac {2}{3} $
$ \lim_{x\to 0} \frac {\sin (2x)}{2x} =1\ donc\ \lim_{x\to 0} f(x)=\frac {2}{3}$
Exemple 2 : Limite en 0 de la fonction f définie sur $\{x\in {\mathbb R}\ et\ x\neq k\pi\ (k\in {\mathbb Z})\}\ par\ f(x)=\frac {1-\cos x}{\sin x} $
$f(x)=\frac {1-\cos x}{x}\times \frac {x}{\sin x} $
$\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}{x} =0\ et\ \lim_{x\to 0} \frac {x}{\sin x}=1\ donc\ \lim_{x\to 0} f(x)=0 $
A connaître 2 formes indéterminées classiques :
$ \lim_{x\to 0} \frac {\sin x}{x}=1\ et\ \lim_{x\to 0} \frac {\cos x-1}{x}=0 $
En présence d'une forme indéterminée en 0, on essaie de se ramener à une de ces 2 formes
Exemple 1 : Limite en 0 de la fonction f définie sur R privé de 0 par $f(x)=\frac {\sin (2x)}{3x} $
Si x tend vers 0, il en est de même de de 2x donc on fait apparaître 2x au dénominateur pour pouvoir utiliser la première des formes indéterminées.
$f(x)=\frac {\sin (2x)}{2x}\times \frac {2x}{3x}=\frac {\sin (2x)}{2x} \times \frac {2}{3} $
$ \lim_{x\to 0} \frac {\sin (2x)}{2x} =1\ donc\ \lim_{x\to 0} f(x)=\frac {2}{3}$
Exemple 2 : Limite en 0 de la fonction f définie sur $\{x\in {\mathbb R}\ et\ x\neq k\pi\ (k\in {\mathbb Z})\}\ par\ f(x)=\frac {1-\cos x}{\sin x} $
$f(x)=\frac {1-\cos x}{x}\times \frac {x}{\sin x} $
$\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}{x} =0\ et\ \lim_{x\to 0} \frac {x}{\sin x}=1\ donc\ \lim_{x\to 0} f(x)=0 $
Re: limites
Excuser moi , lim en 0 x/sinx = n'est elle pas 0 ?
Re: limites
Non c'est bien égal à 1. Une justification :
$\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin x -\sin 0}{x-0}$ donc la limite en 0 est la valeur de la dérivée de la fonction sinus en 0. La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus et $\cos 0 =1$
$\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin x -\sin 0}{x-0}$ donc la limite en 0 est la valeur de la dérivée de la fonction sinus en 0. La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus et $\cos 0 =1$
merci.