Bonjour ;
Notre prof nous a donné des exercices pour nous faire réfléchir sur les proba , mais il nous a dis qu'il n'était pas simple (pourriez vous m'aider à les résoudre svp ) , car nous n'aurons pas de correction
Alice et Bob ont chacun un jeu de 32 cartes , alice choisit secrètement une carte de chacune des 4 couleurs
our participer bob doit miser 1 euro qu'il donne à Alice , alice pose alors faces cachées sur la table les 4 cartes qu'elle a choisies . Bob choisit lui aussi 4 cartes dans le jeu , une de chaque couleur et les pose sur la table
on compare les cartes en retournant celles d'Alice
si alice et bob n'ont aucune carte en commun alice garde la mise, s'ils ont une carte en commun ; alice rend sa mise à Bob , s'ils ont deux cartes en commun, alice donne 10 euros à Bob s'ils ont trois en commun , alice donne 20 euros à Bob et s'ils ont 4 cartes en commun alice donne 100 euros à Bob
Ce jeu est il équitable ? Qui gagne de l'argent à long terme ? Combien en moyenne ?
proba pas si simple
Re: proba pas si simple
Pour chaque couleur Alice a 8 possibilités donc le nombre total de possibilités pour Alice est $8^4$.
Le nombre de possibilités pour Bob est le même.
Pour que Bob n'ait aucune carte en commun , il a 7 choix pour chacune des couleurs donc la probabilité qu'il n'y ait pas de cartes en commun est $\frac{7^4}{8^4}$
Pour qu'il y ait une carte en commun, il y a 4 possibilités pour le choix de la couleur et dans cette couleur il n'y a qu'un seul choix mais 7 choix pour les 3 autres couleurs donc probabilité : $\frac{4\times 1\times 7^3}{8^4}$
Pour qu'il y ait 2 cartes en commun, il y a ${4\choose2}=C_4^2=6$ choix pour les 2 couleurs, pour chacune de ces 2 couleurs une seule possibilité et 7 possibilités pour les 2 autres couleurs donc probabilité : $\frac{6\times 1^2\times 7^2}{8^4}$
Pour qu'il y ait 3 cartes en commun, il y a 4 possibilités pour la couleur non commune et 7 hauteurs pour cette couleur. Probabilité : $\frac{6\times 1^2\times 7^2}{8^4}$
Pour que les 4 cartes soient en commun, une seule possibilité donc probabilité : $\frac{1}{8^4}$
Espérance de gain pour Bob :
$(-1)\times \frac{7^4}{8^4} + 0\times \frac{4\times 1\times 7^3}{8^4}+ 10 \times \frac{6\times 1^2\times 7^2}{8^4}+20\times \frac{6\times 1^2\times 7^2}{8^4}+100\times \frac{1}{8^4}\simeq 0,29$
L'espérance n'est pas nulle, le jeu n'est pas équitable, c'est Bob qui gagne de l'argent à long terme , en moyenne 0,29 euro par partie.
Le nombre de possibilités pour Bob est le même.
Pour que Bob n'ait aucune carte en commun , il a 7 choix pour chacune des couleurs donc la probabilité qu'il n'y ait pas de cartes en commun est $\frac{7^4}{8^4}$
Pour qu'il y ait une carte en commun, il y a 4 possibilités pour le choix de la couleur et dans cette couleur il n'y a qu'un seul choix mais 7 choix pour les 3 autres couleurs donc probabilité : $\frac{4\times 1\times 7^3}{8^4}$
Pour qu'il y ait 2 cartes en commun, il y a ${4\choose2}=C_4^2=6$ choix pour les 2 couleurs, pour chacune de ces 2 couleurs une seule possibilité et 7 possibilités pour les 2 autres couleurs donc probabilité : $\frac{6\times 1^2\times 7^2}{8^4}$
Pour qu'il y ait 3 cartes en commun, il y a 4 possibilités pour la couleur non commune et 7 hauteurs pour cette couleur. Probabilité : $\frac{6\times 1^2\times 7^2}{8^4}$
Pour que les 4 cartes soient en commun, une seule possibilité donc probabilité : $\frac{1}{8^4}$
Espérance de gain pour Bob :
$(-1)\times \frac{7^4}{8^4} + 0\times \frac{4\times 1\times 7^3}{8^4}+ 10 \times \frac{6\times 1^2\times 7^2}{8^4}+20\times \frac{6\times 1^2\times 7^2}{8^4}+100\times \frac{1}{8^4}\simeq 0,29$
L'espérance n'est pas nulle, le jeu n'est pas équitable, c'est Bob qui gagne de l'argent à long terme , en moyenne 0,29 euro par partie.