calculs de dérivée

[nico033]

Bonjour;

Juste pour vérification , j'ai fait des calculs de dérivées mais je souhaiterai savoir si elles sont correctement simplifiée )
merci de votre aide

f(x) = x^2 + ((rac x)) / 2

g(x) = (1) / (1 + rac x))

h(x) = (1 - rac (x))^8 (il faut que j'étudie le signe de la dérivée )

i(x) = (3x^3 - 2x^2 + x+1)^3 (il faut que j'étudie le signe de la dérivée )

[nico033]

Voici ce que j'ai fais :

f'(x) = (8x^2 + rac (x)) / (4x) après simplification

g'(x) = (-1) / (4x(x+1)) après simplification

h'(x) = (-4 rac (x)) / (x) * ((1- rac (x))^7 mais je n'arrive pas à savoir de quelle partie la dérivée va dépendre

i'(x) = 3 (9x^2 - 4x +1) (3x^3-2x^2+x+1)^2 i'(x) va dépendre de (3x^3-2x^2+x+1)^2 mais je ne sais pas comment faire pour étudier le signe .....

[nico033]

Bonjour;

Est ce que j'ai juste à ce que j'ai fais ? Pourriez vous m'aider à trouver le signe de certaines fonctions dérivées

[nico033]

Bonjour;

J'ai du mal à trouver le signe de h'(x) et i'(x) mais je ne sais pas si ma dérivée est juste ?

[Job]

Bonjour

1) Une erreur dans le numérateur de $f'(x)$, il est égal à $8x\sqrt x +1$

2) $g$ est de la forme $\frac{1}{v}$ donc la dérivée est : $\frac{-v'}{v^2}$
$g'(x)=\frac{-\frac{1}{2\sqrt x}}{(1+\sqrt x)^2}=-\frac{1}{2\sqrt x (1+\sqrt x)^2}$
Il est inutile de développer, cette forme est la plus intéressante en particulier si on avait besoin de connaître le signe.

3) La fonction dérivée est exacte. Elle n'est définie que sur $]0, +\infty$ donc $\frac{-4\sqrt x}{x}<0$
L'exposant 7 étant impair, $(1-\sqrt x)^7$ est positif si et seulement si $1-\sqrt x \geq 0$ soit $\sqrt x\leq 1$ donc $x\leq 1$
Donc sur ]0 , 1], $g'(x)\leq 0$ et sur $[1,+\infty[,\ g'(x)\geq 0$ (produit de 2 négatifs).

4) La dérivée est exacte.
Un carré est toujours positif donc $i'(x)$ a le signe de $9x^2-4x+1$
$\Delta = 16-36 <0$ donc $9x^2-4x+1$ a le signe du coefficient 9 de $x^2$ donc positif.
Par conséquent $i'(x)$ est toujours positif.