Bonjour ;
Pourriez vous m'aider à répondre à mon exercice svp (merci par avance)
Calculer f'(x) pour f(x) = (x^2+1) / (x-1)
en déduire la dérive de chacune des fonctions ci dessous :
g(x) = (x + 1) / (rac (x) -1)
h(x) = (x^4 + 1) / (x^2 - 1)
i(x) = rac ((x^2 + 1) / (x-1))
j(x) = (sin^2 x + 1) / (sin x - 1)
dérivation
Re: dérivation
Bonjour
On utilise la formule de dérivation d'un quotient
$f'(x)=\frac{2x(x-1)-1(x^2+1)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$
Les autres $g, h, j$ sont des fonctions composées de la forme $f(u(x))$ dont la dérivée est $u'(x)\cdot f'(u(x))$
Pour $g$, $u(x)=\sqrt x$ donc $g'(x)=\frac{1}{2\sqrt x} \times \frac{x-2\sqrt x -1}{(\sqrt x -1)^2}$
Pour $h$, $u(x)=x^2$ donc $h'(x)=2x\times \frac{x^4-2x^2-1}{(x^2-1)^2}$
Pour $j$, $u(x)=\sin x$ donc $j'(x)=\cos x \times \frac{\sin^2 x -2\sin x -1}{(\sin^2 x -1)^2}=\cos x \times \frac{-\cos^2 x -2\sin x}{\cos^4 x}=\frac{-\cos^2 x -2\sin x}{\cos^3 x}$
$i(x)=\sqrt {f(x)}$ donc $i'(x)=f'(x)\times \frac{1}{2\sqrt {f(x)}}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\times \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2+1}{x-1}}}$
On utilise la formule de dérivation d'un quotient
$f'(x)=\frac{2x(x-1)-1(x^2+1)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$
Les autres $g, h, j$ sont des fonctions composées de la forme $f(u(x))$ dont la dérivée est $u'(x)\cdot f'(u(x))$
Pour $g$, $u(x)=\sqrt x$ donc $g'(x)=\frac{1}{2\sqrt x} \times \frac{x-2\sqrt x -1}{(\sqrt x -1)^2}$
Pour $h$, $u(x)=x^2$ donc $h'(x)=2x\times \frac{x^4-2x^2-1}{(x^2-1)^2}$
Pour $j$, $u(x)=\sin x$ donc $j'(x)=\cos x \times \frac{\sin^2 x -2\sin x -1}{(\sin^2 x -1)^2}=\cos x \times \frac{-\cos^2 x -2\sin x}{\cos^4 x}=\frac{-\cos^2 x -2\sin x}{\cos^3 x}$
$i(x)=\sqrt {f(x)}$ donc $i'(x)=f'(x)\times \frac{1}{2\sqrt {f(x)}}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}\times \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2+1}{x-1}}}$