dénombrement

[syne1]

Bonjour je voudrais de l'aide pour ces trois exercices.
MERCI D'AVANCE

EXERCICE 1
Une urne contient 4 boules blanches, 6 boules noires et 2 boules rouges.
1) On tire simultanément 3 boules de l'urne. Déterminer le nombre de tirages:
a) possibles;
b) unicolores;
c) contenant exactement deux boules noires;
d) contenant au moins une boule rouge;
2) On tire successivement et sans remise 3 boules de l'urne. Déterminer le nombre de tirages:
a) possibles;
b) unicolores;
c) de deux boules noires suivies d'une rouge;
3) On tire successivement et avec remise 3 boules de l'urne. Déterminer le nombre de tirages:
a) possibles;
b) unicolores;
c) de deux boules noires et d'une rouge;
EXERCICE 2
Pour ouvrir un coffre, on doit composer un code secret de 4 chiffres sur un tableau informatique de 10 chiffres : 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9.
1) Déterminer le nombre de codes possibles
2) Combien y a-t-il de codes commençant pat 2?
3) 2) Combien y a-t-il de codes pairs?
4) Combien y a-t-il de codes ne contenant pas 0?
EXERCICE 3
On se propose à un candidat un questionnaire à choix multiples (QCM), comportant 8 questions.
Pour chaque question il y a 3 réponses dont une seule est correcte.
Combien y a-t-il de :
1) façons de remplir le questionnaire?
2) questionnaires ne comportant qu'une seule faute?.
3) questionnaires où tout est faux?
4) questionnaires ayant au moins une bonne réponses?

[Job]

Bonjour

Exercice 1
1) a) Un tirage est une combinaison de 3 boules parmi 12 donc leur nombre est ${12\choose 3}=C_{12}^3=\frac{12\times 11\times 10}{3!}=220$

b) On peut avoir 3 boules blanches parmi 4 ou 3 boules noires parmi 6.
Nombre de tirages unicolores : $C_4^3+C_6^3=4+20=24$

c) Il faut 2 boules noires parmi 6 associé une boule parmi les 6 qui ne sont pas noires.
Nombre de tirages comprenant 2 boules noires : $C_6^2\times C_6^1=15\times 6 = 90$

d) Avec "au moins", la bonne méthode est de regarder l'événement contraire.
Nombre de tirages ne contenant pas de boule rouge donc de 3 boules parmi 10 : $C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3!}=120$
Nombre de tirages contenant au moins une boule rouge : 220 -120 = 100

2) a) En considérant que les boules sont toutes distinctes l'une de l'autre et que l'ordre intervient, le nombre de tirages est :
12 X 11 x 10 = 1320

b) Nombre de tirages unicolores : (4 x 3 x 2) + (6 x 5 x 4) = 24 + 120 = 144

c) 2 boules noires suivies d'une rouge : 6 x 5 x 2 = 60

3) a) Avec les mêmes considérations que dans la question 2, nombre de tirages possibles : $12^3= 1728$

b) Nombre de tirages unicolores : $4^3+6^3+2^3=288$

c) Nombre de tirages de 2 noires suivies d'une rouge : $6^2\times 2=72$

[Job]

Exercice 2

1) Un même chiffre peut être répété donc le nombre de codes possibles est $10^4=10000$

2) Commençant par 2 : les 3 autres chiffres sont à prendre parmi 10 donc nombre de codes commençant par 2 : $10^3=1000$

3) Pour les 3 premiers chiffres, il y a 10 choix et pour le dernier 5 choix donc nombre de codes pairs : $10^3\times 5 =5000$

4) Pour chaque chiffre, il n'y a plus que 9 choix donc nombre de codes ne contenant pas 0 : $9^4=6561$

Exercice 3

1) Nombre de 8-listes à choisir dans un ensemble de 3 éléments : $3^8=6561$

2) La faute se situe dans une des 8 questions et pour faire une faute il y a 2 possibilités donc nombre de questionnaires avec une seule faute : 8 x 2 = 16.

3) Questionnaire où tout est faux : pour chaque question 2 possibilités donc nombre de questionnaires : $2^8=256$

4) C'est le contraire de "tout est faux" donc nombre de questionnaires ayant au moins une bonne réponse : 6561 - 256 = 6305