similitude

[ameniZ9]

Bonjour,

[Job]

Bonjour

1) L'expression complexe est de la forme $z'=a\bar z +b$ donc il s'agit d'une similitude Indirecte.
Le rapport est égal à $|-2i|=2$
Le centre vérifie l'égalité $z'=z$ soit $-2i\bar z +6=z$
On utilise l'expression algébrique de $z=x+i y$ :
$-2i(x-iy)+6=x+i y$
$-2ix-2y+6=x+i y$
Deux complexes sont égaux si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire donc :
$\left\{\begin{array}{rcl}x&=&-2y+6\\y&=&-2x\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&-2\\y&=&4\end{array}\right.$
$I$ centre de la similitude a pour affixe : $-2+4 i$

2) On traduit l'égalité vectorielle en terme d'affixe : $-2i\bar z +6+2-4i=2(z+2-4i)$
$8-4i-4+8i=2z+2i\bar z$
$4(1+i)=2(x+iy)+2i(x-iy)$
$4(1+i)=2(x+y)+2i(x+y)$
$4(1+i)=2(1+i)(x+y)$
$x+y=2$
L'ensemble des points $M$ est donc la droite d'équation $x+y=2$

La droite $(D)$ d'équation $x+y=2$ passe par $I$ et est telle que tout point $M$ de $(D)$ a son image sur $(D)$ avec $\overrightarrow{IM'}=2\overrightarrow{IM}$ avec 2 rapport de la similitude, c'est donc l'axe de $f$.

[Job]

Activité 2

1. $k=\frac{BI}{AD}=\frac{1}{2}$
$\theta = (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BI}=\frac{\pi}{2}$
$\Omega$ est le point d'intersection des demi-cercles arcs capables de $\frac{\pi}{2}$ construits respectivement sur $[AB]$ et $[DI]$.

2. Une symétrie orthogonale est une similitude indirecte et la composée d'une similitude indirecte et d'une similitude directe est une similitude indirecte donc $g$ est une similitude indirecte.
Son rapport est égal au produit des rapports soit $1\times \frac{1}{2} =\frac{1}{2}$

Soit $A'=S_{DC}(A)$ et $A"=f(A')$
Une similitude conserve le milieu. $D$ est le milieu de $[AA']$ donc par $f$, $I$ est le milieu de $[BA"]$ donc $A"=A$
$g(A)=f(S_{DC}(A))=f(A')=A$. $A$ est donc le centre de $g$.

$g(D)=f(S_{DC}(D))=f(D)=I$
Soit $C'=g(C)$.
Par $g$, $ADC$ a pour image $AIC'$. $AIC'$ est donc un triangle rectangle isocèle dont les dimensions sont la moitié de celles de $ADC$
$(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})=\frac{\pi}{2}$ donc $(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IC'})=-\frac{\pi}{2}$ et $IC'=\frac{1}{2} DC$ donc $C'$ est le centre du carré.
$\overrightarrow{AC'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ donc l'axe de la similitude $g$ est la droite $(AC)$.

[Job]

Activité 3
Une similitude indirecte, transforme un angle orienté en son opposé.
$\vec u$ étant un vecteur directeur de $D$, est transformé en un vecteur $k\vec u$ donc $(k\overrightarrow{u},\overrightarrow{IM'})=-(\overrightarrow u, \overrightarrow{IM})\ [2\pi]$
$k$ étant un réel positif, $(k\overrightarrow{u},\overrightarrow{IM'})=(\overrightarrow u , \overrightarrow{IM'})$ d'où la conclusion.

[Job]

Activité 1

1. $h^{-1}\circ f$ composée d'une similitude indirecte et d'une similitude directe est une similitude indirecte de rapport $\frac{1}{k}\times k=1$ donc c'est un antidéplacement ayant au moins un point fixe $I$ donc c'est une symétrie orthogonale dont l'axe passe par $I$ car $I$ est un point invariant.

2. En composant à gauche par $h$, $f=h\circ s_D$.
$\forall M,\ f(M)=h(s_D(M))$ donc $M\in D\Longleftrightarrow f(M)=h(M)$ soit puisque $I$ est le centre de $h$, $\overrightarrow {IM'}=k\overrightarrow{IM}$

3. $h\circ s_D=h\circ h^{-1} \circ f =f$ donc pour tout point $M$, $h\circ s_D(M)=f(M)$
D'après la question précédente, pour tout point $M$ de $D$ d'image $M'$, $\overrightarrow{IM'}=k\overrightarrow {IM}$ ce qui équivaut à $h(M)=M'$ et $M$ appartenant à $D$, $M'$ appartient aussi à $D$ donc $(s_D\circ h)(M)=s_D(M')=M'$
Donc $(h\circ s_D)(M)=(s_D\circ h)(M)$
Les similitudes indirectes $h\circ s_D$ et $s_D\circ h$ ont même rapport $k$ et coïncident sur la droite $D$ donc elles sont égales.