similitude

[ameniZ9]

Bonjour,

[Job]

Je suppose que le carré est de sens direct et donc que la rotation a comme angle $\frac{\pi}{2}$
$h\circ r$ et $r\circ h$ sont des similitudes de rapport 2 et d'angle $\frac{\pi}{2}$

$h\circ r (D)=h(r(D))=h(A)=A$ et $h\circ r (B) =h(r(B))=C$
Le centre $\omega_1$ de $h\circ r$ vérifie donc $(\overrightarrow{\omega_1 D}, \overrightarrow{\omega_1A})=\frac{\pi}{2}$ et $(\overrightarrow{\omega_1 B}, \overrightarrow{\omega_1C})=\frac{\pi}{2}$
$\omega_1$ est donc le point d'intersection des demi-cercles arcs capables de $\frac{\pi}{2}$ construits respectivement sur $[DA]$ et $[BC]$

$r\circ h (A) =r(h(A))=r(A)=E$ et $r\circ h(B)=r(h(B))=r(C)=D$
Le centre $\omega_2$ de $h\circ r$ vérifie donc $(\overrightarrow{\omega_2 A}, \overrightarrow{\omega_2 E})=\frac{\pi}{2}$ et $(\overrightarrow{\omega_2 B}, \overrightarrow{\omega_2 D})=\frac{\pi}{2}$
$\omega_2$ est donc le point d'intersection des demi-cercles arcs capables de $\frac{\pi}{2}$ construits respectivement sur $[AE]$ et $[BD]$

(Si le carré est de sens indirect, le raisonnement est exactement le même)

[Job]

b]Activité 1[/b]
1. En utilisant le parallélisme de $(AB)$ et $(CD)$ on a $h(D)=A$
$f(O')=h(S(O'))=h(O)=O$
$f(E)=h(S(E))=h(C)=B$
$f(F)=h(S(F))=h(D)=A$

2. La droite $(AE)$ a pour symétrique la droite $(AC)$ donc $I$ appartenant à $(AE)$, $I'$ appartient à $(AC)$.
Par symétrie centrale par rapport au centre du losange, la droite $(BI)$ a pour image la droite $(AI')=(AC)$. par conséquent les droites $(BI)$ et $(CI')$ sont parallèles.
On en déduit que $I$ est l'image de $I'$ par l'homothétie $h$.
$f(I)=h(S(I))=h(I')=I$ donc $I$ est le point fixe de $f$.

Activité 1. bis

$z'=e^{i\frac{\pi}{3}} z$
$\overrightarrow{AM"}=2\overrightarrow{AM'}$
$A$ a pour affixe $i$ donc $z"-i=2(z'-i)$
D'où $z"=2(e^{i\frac{\pi}{3}}z -i)+i=2e^{i\frac{\pi}{3}} z -i$