similitude

[ameniZ9]

Bonjour,

[Job]

Bonjour

Activité 1
1) Puisque $h$ et $r$ ont même centre, $h\circ r$ et $r\circ h$ sont des similitudes directes de centre $I$, de rapport $k$ et d'angle $\theta$

2) 2 similitudes directes de même centre, même rapport, même angle sont égales donc $f=h\circ r =r\circ h$

Activité 2
a) On construit le demi-droite $[Ax)$ telle que $([Ax) ,\overrightarrow{AB} )=\frac{\pi}{3}$
La demi-droite $[Ay)$ perpendiculaire en $A$ à $[Ax)$ coupe la médiatrice de $[AB]$ en un point $O$. L'arc de cercle de centre $O$ passant par $A$ et $B$ et situé dans le demi-plan de frontière $(AB)$ ne contenant pas $[Ax)$ est l'ensemble des points $M$ tels que $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})=\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$

Activité 3
1. $MA=kMB$ équivaut à $\overrightarrow {MA}\ ^2-k^2\overrightarrow{MB}\ ^2=0$ soit $(\overrightarrow{MA}-k\overrightarrow{MB})\cdot (\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB})=0$

$\overrightarrow{CA}-k\overrightarrow{CB}=\overrightarrow {0}$
Pour tout point $M$ : $\overrightarrow{MA}-k\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-k\overrightarrow{MC}-k\overrightarrow{CB}=(1-k)\overrightarrow{MC}$

De même $\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}=(1+k)\overrightarrow{MG}$

Donc $(\overrightarrow{MA}-k\overrightarrow{MB})\cdot (\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB})=0$ équivaut à $(1-k^2)\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MG}=0$ soit puisque $k$ positif différent de 1, $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MG}=0$

2) Les vecteurs sont donc orthogonaux et par conséquent l'ensemble des points $M$ est le cercle de diamètre $[CG]$