exponentielle

[nico033]

Soit a et b deux nombres réels .
Montrer que si a = f(b) alors b = g(a)
Montrer que si b = g(a) alors a = f(b)

sachant que f(x) = (exp(x) - exp(-x)) /2 et g(x) = ln (x + rac (x^2+1))
Soit x appartenant à IR . Que vaut fog(x) et g o f(x)?
que peut on dire des représentations graphiques Cf et Cg des fonctions f et g ?

[nico033]

Bonjour;

Pardon, je n'arrive pas à résoudre ce petit exercice pour jeudi

Merci de votre aide

[Job]

Bonjour

$f(x)=\frac{e^x -\frac{1}{e^x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}=\frac{(e^x)^2-1}{2e^x}$

$a=f(b)\Longleftrightarrow b$ solution de : $2ae^x=(e^x)^2-1\Longleftrightarrow (e^x)^2-2ae^x-1=0$
On pose $X=e^x$ avec $X>0$ : $X^2-2aX-1=0$
$\Delta =4a^2+4=4(a^2+1)$
$X=\frac{2a\pm 2\sqrt{a^2+1}}{2} =a\pm \sqrt{a^2+1}$
$X$ doit être positif donc $X=e^x=a+\sqrt{a^2+1}$ donc $x=\ln (a+\sqrt{a^2+1})$ soit $b=g(a)$

$b=g(a) \Longleftrightarrow b=\ln (a+\sqrt{a^2+1}$ donc $e^b =a+\sqrt{a^2+1}$ ou $\sqrt{a^2+1}=e^b-a$
En élevant au carré : $a^2+1=(e^b)^2+a^2 -2ae^b$
D(où on déduit : $a=\frac{(e^b)^2-1}{2e^b}=f(b)$

Soit $y=g(x)$ , donc d'après le calcul précédent $x=f(y)$ et on a alors $f\circ g(x) =f(g(x))=f(y)=x$

Soit $y=f(x)$ donc d'après le premier calcul $x=g(y)$ et on a alors $g\circ f (x) =g(f(x))=g(y)=x$

Dans un repère orthonormé les représentations graphiques de $f$ et $g$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$