nombres complexes
Re: nombres complexes
Bonjour
Un certain nombre de questions sont basiques donc je me contenterai de donner le résultat.
1) a) $z_{A'}=z_{B'}=-4+2i$
b) $z_1^2-4z_1=z_2^2-4z_2$
$z_1^2-z_2^2-4(z_1-z_2)=0$
$(z_1-z_2)(z_1+z_2-4)=0$
Donc 2 points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$ ont la même image si et seulement si $z_1-z_2=0$ soit $z_1=z_2$, les points sont alors confondus ou si $z_1+z_2-4=0$ soit $\frac{z_1+z_2}{2}=2$. Les 2points ont alors pour milieu le point d'affixe 2, ils sont alors symétriques par rapport au point d'affixe 2.
2) a) $OMIM'$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{M'I}$ donc si et seulement si ces vecteurs ont la même affixe soit $z-0=3-z'$ soit $z=-3-z^2+4z$ donc $z^2-3z+3=0$
b) $\Delta =-3=(i\sqrt 3)^2$ Solutions : $\frac{3-i\sqrt 3}{2}\ ,\ \frac{3+i\sqrt 3}{2}$
3) a) $z'+4=(z-2)^2$
Donc $|z'+4|=|z-2|^2$
L'argument d'un produit est égal à la somme des arguments des facteurs donc $\arg (z'+4)=2\arg (z-2)$
b) $M\in \Gamma$ si et seulement si $JM=2$ soit $|z-2|=2$
On a alors $|z'+4|=4$ donc $M'$ appartient au cercle de centre $K$ d'affixe (-4) et de rayon 4.
c) $z_E+4=-3i=3(-i) =3(\cos (-\frac{\pi}{2})+i\sin (-\frac{\pi}{2})$
Soit un point $M\ (z)$ ayant pour image le point $E$.
$|z_E+4|=3$ donc $|z-2|=\sqrt 4=2$
$\arg (z_E+4)=-\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$ donc $\arg (z-2)=-\frac{\pi}{4}\ [\pi]$
On a donc 2 points répondant à la question d'affixes :
$z_1-2=\sqrt 3(\cos (-\frac{\pi}{4}) +i\sin (-\frac{\pi}{4}))$ donc $z_1=2-\frac{3\sqrt 2}{2} -i\frac{3\sqrt 2}{2}$
$z_2-2=\sqrt 3(\cos (\frac{3\pi}{4}) +i\sin (\frac{3\pi}{4}))$ donc $z_2=2-\frac{3\sqrt 2}{2} +i\frac{3\sqrt 2}{2}$
Un certain nombre de questions sont basiques donc je me contenterai de donner le résultat.
1) a) $z_{A'}=z_{B'}=-4+2i$
b) $z_1^2-4z_1=z_2^2-4z_2$
$z_1^2-z_2^2-4(z_1-z_2)=0$
$(z_1-z_2)(z_1+z_2-4)=0$
Donc 2 points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$ ont la même image si et seulement si $z_1-z_2=0$ soit $z_1=z_2$, les points sont alors confondus ou si $z_1+z_2-4=0$ soit $\frac{z_1+z_2}{2}=2$. Les 2points ont alors pour milieu le point d'affixe 2, ils sont alors symétriques par rapport au point d'affixe 2.
2) a) $OMIM'$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{M'I}$ donc si et seulement si ces vecteurs ont la même affixe soit $z-0=3-z'$ soit $z=-3-z^2+4z$ donc $z^2-3z+3=0$
b) $\Delta =-3=(i\sqrt 3)^2$ Solutions : $\frac{3-i\sqrt 3}{2}\ ,\ \frac{3+i\sqrt 3}{2}$
3) a) $z'+4=(z-2)^2$
Donc $|z'+4|=|z-2|^2$
L'argument d'un produit est égal à la somme des arguments des facteurs donc $\arg (z'+4)=2\arg (z-2)$
b) $M\in \Gamma$ si et seulement si $JM=2$ soit $|z-2|=2$
On a alors $|z'+4|=4$ donc $M'$ appartient au cercle de centre $K$ d'affixe (-4) et de rayon 4.
c) $z_E+4=-3i=3(-i) =3(\cos (-\frac{\pi}{2})+i\sin (-\frac{\pi}{2})$
Soit un point $M\ (z)$ ayant pour image le point $E$.
$|z_E+4|=3$ donc $|z-2|=\sqrt 4=2$
$\arg (z_E+4)=-\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$ donc $\arg (z-2)=-\frac{\pi}{4}\ [\pi]$
On a donc 2 points répondant à la question d'affixes :
$z_1-2=\sqrt 3(\cos (-\frac{\pi}{4}) +i\sin (-\frac{\pi}{4}))$ donc $z_1=2-\frac{3\sqrt 2}{2} -i\frac{3\sqrt 2}{2}$
$z_2-2=\sqrt 3(\cos (\frac{3\pi}{4}) +i\sin (\frac{3\pi}{4}))$ donc $z_2=2-\frac{3\sqrt 2}{2} +i\frac{3\sqrt 2}{2}$