déplacement et antidéplacement
Re: déplacement et antidéplacement
Bonjour
Exercice 7
2°) a) $\gamma$ est l'arc capable de $\frac{\pi}{3}$ construit sur $[BC]$. Comme $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}=\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$, c'est donc l'arc de $\zeta$ d'extrémités $B$ et $C$ contenant le point $A$.
b) $(IJ)$ est la médiatrice de $[BC]$. L'ensemble des points $M$ tels que $MB<MC$ est le demi-plan ouvert de frontière la droite $(IJ)$ et contenant $B$
En prenant l'intersection de $\gamma$ et de ce demi-plan, on obtient donc l'arc de $\zeta$ d'extrémités $B$ et $J$
3°a) Par construction $AB=PC$ et $\overrightarrow{AB}\neq \overrightarrow{PC}$ donc il existe une unique rotation $R$ telle que $R(A)=P$ et $R(B)=C$
L'angle de la rotation est égal modulo $2\pi$ à $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{PC})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\pi}{3}$
b) Soit $\Omega$ le centre de $R$. Puisque $R(B)=C,\ (\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega C})=\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$ donc $\Omega \in \gamma$ et $\Omega$ appartient à la médiatrice de $[BC]$. Le centre de $R$ est donc le point $J$.
c) $R(A)=P$ donc $JA=JP$ et $(\overrightarrow{JA},\overrightarrow{JP})=\frac{\pi}{3}$. Le triangle $JAP$ est donc équilatéral.
4°) $S_B(B)=B$ et $R(B)=C$ donc $f(B)=C$
$f$ composée de 2 rotations d'angles respectifs $\pi$ et $\frac{\pi}{3}$ est une rotation d'angle $\pi +\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3} \equiv -\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]$
Puisque $f(B)=C$ son centre appartient à la médiatrice de $[BC]$ et à l'arc capable de $\pi +\frac{\pi}{3}$ construit sur $[BC]$, c'est donc le point $I$.
Exercice 7
2°) a) $\gamma$ est l'arc capable de $\frac{\pi}{3}$ construit sur $[BC]$. Comme $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}=\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$, c'est donc l'arc de $\zeta$ d'extrémités $B$ et $C$ contenant le point $A$.
b) $(IJ)$ est la médiatrice de $[BC]$. L'ensemble des points $M$ tels que $MB<MC$ est le demi-plan ouvert de frontière la droite $(IJ)$ et contenant $B$
En prenant l'intersection de $\gamma$ et de ce demi-plan, on obtient donc l'arc de $\zeta$ d'extrémités $B$ et $J$
3°a) Par construction $AB=PC$ et $\overrightarrow{AB}\neq \overrightarrow{PC}$ donc il existe une unique rotation $R$ telle que $R(A)=P$ et $R(B)=C$
L'angle de la rotation est égal modulo $2\pi$ à $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{PC})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\pi}{3}$
b) Soit $\Omega$ le centre de $R$. Puisque $R(B)=C,\ (\overrightarrow{\Omega B},\overrightarrow{\Omega C})=\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$ donc $\Omega \in \gamma$ et $\Omega$ appartient à la médiatrice de $[BC]$. Le centre de $R$ est donc le point $J$.
c) $R(A)=P$ donc $JA=JP$ et $(\overrightarrow{JA},\overrightarrow{JP})=\frac{\pi}{3}$. Le triangle $JAP$ est donc équilatéral.
4°) $S_B(B)=B$ et $R(B)=C$ donc $f(B)=C$
$f$ composée de 2 rotations d'angles respectifs $\pi$ et $\frac{\pi}{3}$ est une rotation d'angle $\pi +\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3} \equiv -\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]$
Puisque $f(B)=C$ son centre appartient à la médiatrice de $[BC]$ et à l'arc capable de $\pi +\frac{\pi}{3}$ construit sur $[BC]$, c'est donc le point $I$.
Re: déplacement et antidéplacement
Exercice 8
1°) a) $f(D)=t\circ R_D(D)=t(D)=A$ et $f(A)=t\circ R_D(A)=t(C)=B$
b) La composée d'une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ et d'une translation est une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$;
$f(D)=A$ et $f(A)=B$ donc son centre est le point d'intersection des médiatrices de $[AD]$ et $[AB]$, c'est donc le point $I$.
2° a) $g_1(D)=R_1\circ f (D)=R_1(A)=A$ et $g_2(D)=R_2\circ f (D)=r_2(A)=A$
b) $g_1^{-1}=(R_1\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ R_1^{-1}$ (il ne faut pas oublier d'inverser l'ordre)
$g_2\circ g_1^{-1}=(R_2\circ f)\circ (f^{-1}\circ R_1^{-1})=R_2\circ (f\circ f^{-1})\circ R_1^{-1}=R_2\circ Id \circ R_1^{-1}=R_2\circ R_1^{-1}$
c) $g_2\circ g_1^{-1}(A1)=g_2(A)=A_2$
Petit problème : que signifie l'étoile entre $A_1$ et $A_2$ ?
Si certaines réponses ne sont pas assez détaillées ou pas claires, dites le moi.
1°) a) $f(D)=t\circ R_D(D)=t(D)=A$ et $f(A)=t\circ R_D(A)=t(C)=B$
b) La composée d'une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ et d'une translation est une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$;
$f(D)=A$ et $f(A)=B$ donc son centre est le point d'intersection des médiatrices de $[AD]$ et $[AB]$, c'est donc le point $I$.
2° a) $g_1(D)=R_1\circ f (D)=R_1(A)=A$ et $g_2(D)=R_2\circ f (D)=r_2(A)=A$
b) $g_1^{-1}=(R_1\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ R_1^{-1}$ (il ne faut pas oublier d'inverser l'ordre)
$g_2\circ g_1^{-1}=(R_2\circ f)\circ (f^{-1}\circ R_1^{-1})=R_2\circ (f\circ f^{-1})\circ R_1^{-1}=R_2\circ Id \circ R_1^{-1}=R_2\circ R_1^{-1}$
c) $g_2\circ g_1^{-1}(A1)=g_2(A)=A_2$
Petit problème : que signifie l'étoile entre $A_1$ et $A_2$ ?
Si certaines réponses ne sont pas assez détaillées ou pas claires, dites le moi.
Re: déplacement et antidéplacement
Bonsoir,
Merci beaucoup !
L'étoile? Je pensait que c'était pour dire que A est le milieu.
Merci beaucoup !
L'étoile? Je pensait que c'était pour dire que A est le milieu.
Re: déplacement et antidéplacement
$R_1^{-1}$ est la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$ donc $R_2\circ R_1^{-1}$ est la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{4} +\frac{3\pi}{4}=\pi$. C'est donc la symétrie centrale de centre $A$.
$R_2\circ R_1^{-1} (A_1)=A_2$. Par conséquent $A$ est le milieu des points $A_1$ et $A_2$.
$R_2\circ R_1^{-1} (A_1)=A_2$. Par conséquent $A$ est le milieu des points $A_1$ et $A_2$.