limites de fonctions

[nico033]

Bonjour ,

Je souhaiterai savoir si les limites suivantes sont possibles, car je suis un peu bloqué :

déterminer la limite des fonctions lorsque x tend vers 0:

f(x) = x cos (1/x)
g(x) = (1 - cos(x)) / (x^2)
h(x) = (ch(x) - x) / (th^2(x))
i(x) = (cos(x^4) - 1) / (x^4 exp(x))

déterminer la limite des fonctions suivantes lorsque x tend vers +infini

f(x) = (x^3 + ln(x)) /(x rac (x) +1)
g(x) = (ln (x^x) + 2014) / (exp(2x)+exp(x)+exp(-x))

[nico033]

Bonjour ,

Les limites données ne sont pas du programme (en fin pas toute ) de Terminale , mais notre prof veut qu'on essaye de chercher sur internet

[Job]

$0\leq \left|\cos \frac{1}{x}\right|\leq 1$ donc $|f(x)|\leq |x|$ et par conséquent $\lim_{x\to 0} f(x)=0$

$\cos x =1-2\sin^2\frac{x}{2}$
$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2\sin^2 (\frac{x}{2})}{x^2}= \frac{2\sin^2 (\frac{x}{2}))}{4\times \frac{x^2}{4}}=\frac{1}{2} \times (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}})^2$
Or $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1$ donc $\lim_{x\to 0} g(x) =\frac{1}{2}$

$\cosh (0)=1$ , $\lim_{x\to 0} (\cosh x -x )=1$
$\tanh (0)=0$ , $\lim_{x\to 0} \tanh^2x=0^+$
Donc $\lim_{x\to à} h(x)=+\infty$

$i(x)=\frac{\cos (x^4)-1}{x^4}\times \frac{1}{e^x}$
$\lim_{h\to 0}\frac{\cos h -1}{h}=\cos'(0)=-\sin 0 =0$
Donc $\lim_{x\to 0} i(x)=0$

En $+\infty$ $ \ln x$ est négligeable devant toute puissance de $x$
Donc $\lim_{x\to +\infty} f(x) =\lim_{x\to +\infty} \frac{x^3}{x\sqrt x} =\lim_{x\to +\infty} x\sqrt x =+\infty$

$\ln (x^x)=\ln e^{x\ln x}=x\ln x$
$\lim_{x\to +\infty} g(x) =\lim_{x\to +\infty} \frac{x\ln x}{e^{2x}}=\lim_{x\to +\infty} (\frac{x}{e^x})\times (\frac{\ln x}{e^x})=0\times 0 =0$