Bonsoir;
Je n'arrive pas à résoudre cette équation pour mardi ;
L'équation est: ln(1+x) - ln(x) < 1/x
merci de votre aide par avance
équation Ln
Re: équation Ln
Bonjour
L'inéquation est définie sur l'intervalle $]0 , +\infty[$
Il ne faut pas chercher à résoudre directement ce genre d'inéquation.
On étudie la fonction $f$ définie sur cet intervalle par $f(x)=\ln (1+x)-\ln x -\frac{1}{x}$
$f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-x(1+x)+(1+x)}{x^2(1+x)}=\frac{1}{x^2(1+x)}>0$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante.
$f(x)=\ln \frac{1+x}{x}-\frac{1}{x}=\ln (\frac{1}{x}+1)-\frac{1}{x}$
$\lim_{x\to +\infty} \ln (\frac{1}{x}+1)=\ln 1=0$ et $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0$ donc $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
$f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ et a pour limite 0 en +l'infini donc $\forall x \in ]0, +\infty[,\ f(x)<0$ soit $\ln (1+x)-\ln x<\frac{1}{x}$.
L'inéquation a pour solution $]0,+\infty[$
L'inéquation est définie sur l'intervalle $]0 , +\infty[$
Il ne faut pas chercher à résoudre directement ce genre d'inéquation.
On étudie la fonction $f$ définie sur cet intervalle par $f(x)=\ln (1+x)-\ln x -\frac{1}{x}$
$f'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-x(1+x)+(1+x)}{x^2(1+x)}=\frac{1}{x^2(1+x)}>0$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante.
$f(x)=\ln \frac{1+x}{x}-\frac{1}{x}=\ln (\frac{1}{x}+1)-\frac{1}{x}$
$\lim_{x\to +\infty} \ln (\frac{1}{x}+1)=\ln 1=0$ et $\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0$ donc $\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$
$f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ et a pour limite 0 en +l'infini donc $\forall x \in ]0, +\infty[,\ f(x)<0$ soit $\ln (1+x)-\ln x<\frac{1}{x}$.
L'inéquation a pour solution $]0,+\infty[$