Bonsoir;
Voici le 2ème exercice que j'ai à faire pour mardi ,
Merci de votre aide ;
A tout point M d'affixe z on associe M' le point d'affixe Z = (-iz - 2) / (z+i)
on considère les points A(-1), B(1+4i), C (-1+2i) , D (1+2i) et E' (i)
calculer sous forme algébrique les affixes des points B', C' et D' (OK j'ai réussi )
calculer sous forme algébrique l'affixe du point E dont l'image est E'
on pose z = x + iy et Z' = x' + iy'
Démontrer que x' = (-2x + y - 2) / ((x+1)^2 + y^2)) et y ' = (-x^2 - y^2 - x + 2y) / ((x+1)^2 + y^2))
déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z tels que Z soit un réel
déterminer l'ensemble F des points M d'affixe z tels que Z soit imaginaire pur
démontrer que module (z+1) * module (Z + i) = rac 5
En déduire que si M appartient au cercle C de centre A(-1) et de rayon 3 alors M' appartient au cercle C' dont on déterminera centre et rayon
nombres complexes (suite)
Re: nombres complexes (suite)
Bonjour
Il y a une faute de texte : $Z=\frac{-iz-2}{z+1}$ (et non $i$ au dénominateur.
$\frac{-iz-2}{z+1}=i$
$-iz-2=iz+i$
$2iz=-2-i$
$z=\frac{-2-i}{2i}=\frac{(-2-i)(-i)}{2i(-i)}=\frac{-1+2i}{2}=-\frac{1}{2} +i$ donc $E$ a pour affixe $-\frac{1}{2} +i$
$Z=\frac{-i(x+iy)-2}{(x+iy)+1}=\frac{y-2-ix}{x+1+iy}$
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur
$Z=\frac{(y-2-ix)(x+1-iy)}{(x+1+iy)(x+1-iy)}=\frac{(y-2)(x+1)-x y+i(-x^2-x-y^2+2y)}{(x+1)^2+y^2}$
On a donc $X=\frac{yx+y-2x-2-xy}{(x+1)^2+y^2}=\frac{-2x+y-2}{(x+1)^2+y^2}$ et $Y=\frac{-x^2-y^2-x+2y}{(x+1)^2+y^2}$
$Z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire $Y$ est nulle soit $\left\{\begin{array}{rcl}-(x^2+y^2+x-2y=0\\(x+1)^2+y^2\neq 0 \end{array}\right.$
$x^2+x+y^2-2y=0$. On a le début de développement de carrés :
$ [(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}]+[(y-1)^2-1]=0$
$(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=\frac{5}{4} =(\frac{\sqrt 5}{2})^2$
$(x+1)^2+y^2\neq 0 \Longleftrightarrow (x,y)\neq (-1,0)$
L'ensemble E est le cercle d centre le point de coordonnées $(-\frac{1}{2} ,1)$ et de rayon $\frac{\sqrt 5}{2}$, privé du point $A$ d'affixe (-1)
$Z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle soit $\left\{\begin{array}{rcl}-2x+y-2=0\\(x+1)^2+y^2\neq 0\end{array}\right.$
L'ensemble F est la droite d'équation $-2x+y-2=0$ privée du point $A$ d'affixe (-1)
$Z+i=\frac{-iz-2}{z+1}+i=\frac{-2+i}{z+1}$ donc $(Z+i)(z+1)=-2+i$
$|Z+i|\times |z+1|=|(Z+i)(z+1)|=|-2+i|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt 5$
Si $M(z)$ appartient au cercle de centre A(-1) et de rayon 3 alors $|z+1|=3$ donc $|Z+i|=\frac{\sqrt 5}{3}$
$M'$ appartient aucercle de centre le point d'affixe $(-i)$ et de rayon $\frac{\sqrt 5}{3}$.
Il s'agit d'un exercice de base sur les complexes; il faut essayer de le refaire seul.
Si vous avez besoin d'explications supplémentaires, indiquez le moi.
Il y a une faute de texte : $Z=\frac{-iz-2}{z+1}$ (et non $i$ au dénominateur.
$\frac{-iz-2}{z+1}=i$
$-iz-2=iz+i$
$2iz=-2-i$
$z=\frac{-2-i}{2i}=\frac{(-2-i)(-i)}{2i(-i)}=\frac{-1+2i}{2}=-\frac{1}{2} +i$ donc $E$ a pour affixe $-\frac{1}{2} +i$
$Z=\frac{-i(x+iy)-2}{(x+iy)+1}=\frac{y-2-ix}{x+1+iy}$
On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur
$Z=\frac{(y-2-ix)(x+1-iy)}{(x+1+iy)(x+1-iy)}=\frac{(y-2)(x+1)-x y+i(-x^2-x-y^2+2y)}{(x+1)^2+y^2}$
On a donc $X=\frac{yx+y-2x-2-xy}{(x+1)^2+y^2}=\frac{-2x+y-2}{(x+1)^2+y^2}$ et $Y=\frac{-x^2-y^2-x+2y}{(x+1)^2+y^2}$
$Z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire $Y$ est nulle soit $\left\{\begin{array}{rcl}-(x^2+y^2+x-2y=0\\(x+1)^2+y^2\neq 0 \end{array}\right.$
$x^2+x+y^2-2y=0$. On a le début de développement de carrés :
$ [(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}]+[(y-1)^2-1]=0$
$(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=\frac{5}{4} =(\frac{\sqrt 5}{2})^2$
$(x+1)^2+y^2\neq 0 \Longleftrightarrow (x,y)\neq (-1,0)$
L'ensemble E est le cercle d centre le point de coordonnées $(-\frac{1}{2} ,1)$ et de rayon $\frac{\sqrt 5}{2}$, privé du point $A$ d'affixe (-1)
$Z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle soit $\left\{\begin{array}{rcl}-2x+y-2=0\\(x+1)^2+y^2\neq 0\end{array}\right.$
L'ensemble F est la droite d'équation $-2x+y-2=0$ privée du point $A$ d'affixe (-1)
$Z+i=\frac{-iz-2}{z+1}+i=\frac{-2+i}{z+1}$ donc $(Z+i)(z+1)=-2+i$
$|Z+i|\times |z+1|=|(Z+i)(z+1)|=|-2+i|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt 5$
Si $M(z)$ appartient au cercle de centre A(-1) et de rayon 3 alors $|z+1|=3$ donc $|Z+i|=\frac{\sqrt 5}{3}$
$M'$ appartient aucercle de centre le point d'affixe $(-i)$ et de rayon $\frac{\sqrt 5}{3}$.
Il s'agit d'un exercice de base sur les complexes; il faut essayer de le refaire seul.
Si vous avez besoin d'explications supplémentaires, indiquez le moi.