nombres complexes

[nico033]

Bonsoir;

Pourriez vous m'aider sur ma nouvelle leçon abordée en classe , quelques exercices à faire , que je ne comprend pas

On considère le nombre complexe a = (rac 2 - rac 3)) - i (rac 2 + rac 3))
écrire a^2 sous forme trigo et sous forme algébrique
en déduire la forme trigo de a
en déduire les valeurs exactes de cos (19 pi/12) , sin (19 pi/12) , cos (7 pi/12) et sin (7 pi/12)
On pose Z = ((1 + i rac 3))^6 / (5 + 5i)^4 écrire Z sous forme trigo

[Job]

Bonjour

Pouvez-vous vérifier votre texte car étant donné la suite des questions, $a^2$ devrait avoir un argument multiple de $\frac{\pi}{6}$

[nico033]

Bonsoir;

Les questions que je vous ai indiqués sont celles que j'ai sur mon sujet ;
Je ne sais pas ce que vous souhaitez savoir?

[nico033]

Bonjour;

Il faut d'abord écrire a^2 sous forme algébrique et ensuite sous forme trigo

a = (rac 2 - rac 3)) - i (rac 2 + rac 3))

[Job]

C'est donc dans votre sujet qu'il y a une erreur. Il faudrait voir avec votre professeur.
On pourrait répondre à la suite des questions avec $a=(\sqrt 2-\sqrt 6)+i(\sqrt 2 +\sqrt 6)$


Pour la question à la fin :
$|1+i\sqrt 3| =\sqrt{1+(\sqrt 3)^2}=2$
Soit $\theta_1$ son argument. $\cos \theta_1=\frac{1}{2}\ ;\ \sin \theta_1=\frac{\sqrt 3}{2}$ donc $\theta_1=\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$
Par conséquent $(1+i\sqrt 3)^6$ a pour module $2^6$ et pour argument $6\times \frac{\pi}{3}=2\pi\ [2\pi]$
$|5+5i|=\sqrt{25+25}=5\sqrt 2$
Soit $\theta_2$ son argument. $\cos \theta_2=\sin \theta_2=\frac{5}{5\sqrt 2}=\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}$ donc $\theta_2=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$
Par conséquent $(5+5i)^4$ a pour module $(5\sqrt 2)^4=5^4\times 2^2$ et pour argument $4\times \frac{\pi}{4}=\pi \ [2\pi]$
$Z$ a donc pour module : $\frac{2^6}{5^4\times 2^4}=\frac{2^4}{5^4}$ et pour argument $2\pi -\pi =\pi$
$Z=(\frac{2}{5})^4(\cos \pi +i\sin \pi)=-(\frac{2}{5})^4$