Bonjour;
Je n'arrive pas à comprendre l'exercice que notre prof nous a donné hier après midi , pourriez vous m'expliquer
On note E l'équation cos (3x) = sin (2x)
Résoudre dans IR et dans -pi, pi l'équation E
Montrer que cos (3x) = cos (x) (1 - 4 sin^2(x))
montrer que E est équivalente à cos x (4 sin^2(x) + 2 sin(x) - 1) = 0
En déduire les valeurs de sin (pi/10), cos (2pi/5) , sin (3 pi/10) et cos (pi/5)
trigo
Re: trigo
1) Il faut se ramener à une équation en cosinus ou en sinus : $\sin (2x)=\cos (\frac{\pi}{2}-2x)$
$\cos a =\cos b$ équivaut dans $\mathbb R$ à $b=a+k2\pi$ ou $b=-a+k2\pi (k\in \mathbb Z)$
$\cos (3x)=\cos (\frac{\pi}{2} -2x)$ si et seulement si $3x=\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi$ ou $3x=-\frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\ (k\in \mathbb Z)$
Soit $x=\frac{\pi}{10} +k\frac{2\pi}{5}$ ou $x=-\frac{\pi}{2} +k2\pi \ (k\in {\mathbb Z})$
Dans l'intervalle $]-\pi ,\pi]$ les solutions sont donc : $-\frac{7\pi}{10}, -\frac{\pi}{2} , -\frac{3\pi}{10} , \frac{\pi}{10} , \frac{\pi}{2} , \frac{9\pi}{10}, $
2) On utilise les formules d'addition et de duplication :
$\cos (3x)=\cos (2x+x) =\cos (2x) \cos x -\sin (2x) \sin x$
$=(1-2\sin^2 x)\cos x -(2\sin x \cos x)\sin x$
$=(1-2\sin^2 x)\cos x-2\sin^2 x \cos x$
$=\cos x (1-4\sin^2x)$
3) E est alors équivalente à : $\cos x (1-4\sin^2 x) =2\sin x \cos x$ soit $\cos x(4\sin^2 x +2\sin x -1)=0$
4) $\cos x =0\Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{2} +k\pi\ (k\in \mathbb Z)$ (on retrouve dans $]-\pi , \pi]$ deux des valeurs obtenues précédemment)
Pour le second facteur , on pose $X=\sin x$ et on a donc l'équation du second degré : $4X^2+2X-1=0$
On résout cette équation, les solutions sont : $\frac{-1+\sqrt 5}{4}$ et $\frac{-1-\sqrt 5}{4}$ qui représentent donc les sinus des solutions de l'équation E.
$\sin \frac{\pi}{10} >0$ donc $\sin \frac{\pi}{10} =\frac{-1+\sqrt 5}{4}$
$\cos \frac{2\pi}{5} =\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{5})=\sin \frac{\pi}{10} =\frac{-1+\sqrt 5}{4}$
$\sin \frac{3\pi}{10}=-\sin (-\frac{3\pi}{10})$
$-\frac{3\pi}{10}$ est une solution de l'équation E et $\sin (-\frac{3\pi}{10})<0$ donc $\sin (-\frac{3\pi}{10})=\frac{-1-\sqrt 5}{4}$
On a donc $\sin \frac{3\pi}{10} = \frac{1+\sqrt 5}{4}$
$\cos \frac{\pi}{5} =\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5})=\sin \frac{3\pi}{10} =\frac{1+\sqrt 5}{4}$.
$\cos a =\cos b$ équivaut dans $\mathbb R$ à $b=a+k2\pi$ ou $b=-a+k2\pi (k\in \mathbb Z)$
$\cos (3x)=\cos (\frac{\pi}{2} -2x)$ si et seulement si $3x=\frac{\pi}{2}-2x+k2\pi$ ou $3x=-\frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\ (k\in \mathbb Z)$
Soit $x=\frac{\pi}{10} +k\frac{2\pi}{5}$ ou $x=-\frac{\pi}{2} +k2\pi \ (k\in {\mathbb Z})$
Dans l'intervalle $]-\pi ,\pi]$ les solutions sont donc : $-\frac{7\pi}{10}, -\frac{\pi}{2} , -\frac{3\pi}{10} , \frac{\pi}{10} , \frac{\pi}{2} , \frac{9\pi}{10}, $
2) On utilise les formules d'addition et de duplication :
$\cos (3x)=\cos (2x+x) =\cos (2x) \cos x -\sin (2x) \sin x$
$=(1-2\sin^2 x)\cos x -(2\sin x \cos x)\sin x$
$=(1-2\sin^2 x)\cos x-2\sin^2 x \cos x$
$=\cos x (1-4\sin^2x)$
3) E est alors équivalente à : $\cos x (1-4\sin^2 x) =2\sin x \cos x$ soit $\cos x(4\sin^2 x +2\sin x -1)=0$
4) $\cos x =0\Longleftrightarrow x=\frac{\pi}{2} +k\pi\ (k\in \mathbb Z)$ (on retrouve dans $]-\pi , \pi]$ deux des valeurs obtenues précédemment)
Pour le second facteur , on pose $X=\sin x$ et on a donc l'équation du second degré : $4X^2+2X-1=0$
On résout cette équation, les solutions sont : $\frac{-1+\sqrt 5}{4}$ et $\frac{-1-\sqrt 5}{4}$ qui représentent donc les sinus des solutions de l'équation E.
$\sin \frac{\pi}{10} >0$ donc $\sin \frac{\pi}{10} =\frac{-1+\sqrt 5}{4}$
$\cos \frac{2\pi}{5} =\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{5})=\sin \frac{\pi}{10} =\frac{-1+\sqrt 5}{4}$
$\sin \frac{3\pi}{10}=-\sin (-\frac{3\pi}{10})$
$-\frac{3\pi}{10}$ est une solution de l'équation E et $\sin (-\frac{3\pi}{10})<0$ donc $\sin (-\frac{3\pi}{10})=\frac{-1-\sqrt 5}{4}$
On a donc $\sin \frac{3\pi}{10} = \frac{1+\sqrt 5}{4}$
$\cos \frac{\pi}{5} =\sin (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5})=\sin \frac{3\pi}{10} =\frac{1+\sqrt 5}{4}$.