Bonsoir, j'ai un devoir maison à faire et un des exercices est :
On s'intéresse à l'équation : x^4-8x³+26x²-72x+153=0
Sachant que deux solutions de cette équation sont des nombres imaginaires pures, déterminer les quatres solutions complexes de l'équation.
Je ne vois pas comment je peux calculer cette équation, pouvez vous me donner une piste s'il vous plaît ?
exercice nombres complexes
Re: exercice nombres complexes
Bonjour et bienvenue sur le site.
Une solution imaginaire pure s'écrit $iy$ avec $y$ réel non nul.
On remplace dans l'équation donnée : $(iy)^4-8(iy)^3+26(iy)^2-72iy+153=0$
Soit : $y^4+8iy^3-26y^2-72iy+153=0$
En séparant partie réelle et partie imaginaire on a :
$(y^4-26y^2+153)+i(8y^3-72y)=0$
Un complexe est nul si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux nulles donc $y$ doit être solution des 2 équations : $\left\{\begin{array}{rcl}y^4-26y^2+153=0\\8y^3-72y=0\end{array}\right.$
Il suffit de résoudre une des équations (la seconde est plus facile) et vérifier que les solutions trouvées sont bien solutions de l'autre équation.
Avec les solutions trouvées, il faudra ensuite factoriser dans l'équation donnée pour terminer la résolution.
Une solution imaginaire pure s'écrit $iy$ avec $y$ réel non nul.
On remplace dans l'équation donnée : $(iy)^4-8(iy)^3+26(iy)^2-72iy+153=0$
Soit : $y^4+8iy^3-26y^2-72iy+153=0$
En séparant partie réelle et partie imaginaire on a :
$(y^4-26y^2+153)+i(8y^3-72y)=0$
Un complexe est nul si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux nulles donc $y$ doit être solution des 2 équations : $\left\{\begin{array}{rcl}y^4-26y^2+153=0\\8y^3-72y=0\end{array}\right.$
Il suffit de résoudre une des équations (la seconde est plus facile) et vérifier que les solutions trouvées sont bien solutions de l'autre équation.
Avec les solutions trouvées, il faudra ensuite factoriser dans l'équation donnée pour terminer la résolution.