questions facultatives (suites)

[nico033]

Bonsoir;

J'ai un exercice que je ne suis pas obligé de faire pour la rentrée, mais il m'intéresse pour l'année prochaine .... C'est apparemment un niveau un peu plus poussé que la Terminale ... Merci de votre aide c'est sur les suites

On sait que Sp = somme allant de n = p à n = 1 un
sachant que un = 1 + (1) / n(n+1))

Justifier l'égalité : Sp = p + somme de (1) / (n(n+1)) allant de n = p à n= 1

prouver que la somme allant de n = p à n = 1 (1) / n(n+1)) = 1 - (1) / (p+1)

en déduire que S2015 = 4 064 255 / 2016

[Job]

$S_p=\sum_{n=1}^p (1+\frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^p 1+\sum_{n=1}^p \frac{1}{n(n+1)}=p+\sum_{n=1}^p \frac{1}{n(n+1)}$ car on fait la somme de $p$ nombres 1.

$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}$

$\sum_{n=1}^p \frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^p \frac{1}{n} -\sum_{n=1}^p \frac{1}{n+1}$
$=(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{p})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{p}+\frac{1}{p+1})=1-\frac{1}{p+1}$ (les autres termes s'éliminent.

$S_{2015}=2015 +1-\frac{1}{2016}=\frac{2016^2-1}{2016}$