sujet fonction

[nico033]

Bonsoir;

J'essaye de faire un exercice pour m'entrainer au devoir de la rentrée sur les fonctions , mais je bloque , pourriez vous m'aider svp
(merci par avance de votre aide)

Un shaper est en train de r réaliser une bosse dans n snowpark sur une distance horizontale de 5m
La courbe C représentant une vue en coupe de la bosse doit respecter certaines contraintes
la courbe contient A et B et le milieu I de AB
la fonction définissant la courbe dans le repère (A, i, j) est dérivable
les demi tangentes en A et B sont horizontales

Montrer qu'il existe une unique fonction polynôme de la forme f(x) = ax^2+bx+c répondant aux contraintes précédentes telles que l'arc AI soit un arc de la parabole représentant f
de même , montrer qu'il e existe une unique fonction polynôme g répondant aux conditions et telle que l'arc IB soit un arc de la parabole représentant g
On appelle C la réunion des deux arcs de parabole AI et IB. Démontrer que la demi tangente à gauche et la demi tangente à droite en I appartiennent à une même droite . la courbe C convient elle ?

Démontrer qu'il existe une unique fonction du 3ème degré de la forme f(x) = ax^3+bx^2+cx +d répondant aux conditions précédentes
Calculer la pente maximale dans chacun des cas A et B . Quel choix fera le shaper ?

[Job]

Il manque certaines données. Il faudrait les altitudes de B et I.
A (0,0) , B (5 , ?) , $I\ (\frac{5}{2}\ ,\ ?)$

[nico033]

Bonsoir;
Entre B et C il y a 2 m

[nico033]

Le point I se trouvant sur la curviligne de AB et c'est le milieu de ce segment et entre A et C il y a 5 m

[Job]

Je ne peux toujours pas répondre.
Dans le texte initial, il n'y a pas de point $C$.
Pour répondre, il me faut les coordonnées de tous les points dans le repère $(A,\vec i, \vec j)$ ou une photo de la figure.

[nico033]

Bonjour;
Voici le sujet en PJ.
Merci d'avance

[Job]

Un dernier problème, la photo est floue et je n'arrive pas bien à lire la hauteur du point $B$. Je pense qu'il s'agit de 2m mais je n'en suis pas sûre. Est-ce exact ?

[nico033]

Oui c'est ça .....

[Job]

$A(0,0)\ ,\ B(5,2)\ ,\ C(\frac{5}{2} , 1)$

1. a) $f'(x)=2ax+b$
3 contraintes à traduire : $f(0)=0\ ,\ f(\frac{5}{2}) =1\ ,\ f'(0)=0$ puisque la tangente en $A$ est horizontale.
On obtient donc le système : $\left\{\begin{array}{rcl}c&=&0\\\frac{25}{4}a+\frac{5}{2} b +c&=&1\\ b&=&0\end{array}\right.$
$a=\frac{4}{25}$ et $f(x)=\frac{4}{25} x^2$

1. b) $g(x)=ax^2+bx+c$ et $g'(x)=2ax+b)$
Les contraintes : $g(\frac{5}{2} =1\ ,\ g(5)=2\ ,\ g'(5)=0$
Donc le système : $\left\{\begin{array}{rcl}\frac{25}{4}a+\frac{5}{2} b +c&=&1\\25a+5b+c&=&2\\10a+b&=&0\end{array}\right.$
On résout le système, ce qui m'a donné : $g(x)=-\frac{4}{25} x^2 +\frac{8}{5} x -2$ et $g'(x)=-\frac{8}{25} x +\frac{8}{5}$

1. c)
$f'(\frac{5}{2}) = \frac{8}{25} \times \frac{5}{2}=\frac{4}{5}$
$g'(\frac{5}{2} =-\frac{8}{25} \times \frac{5}{2} +\frac{8}{5}=\frac{4}{5}$
Les 2 demi-tangentes en $I$ ont le même coefficient directeur donc elles appartiennent à la même droite.
La courbe $\cal C$ convient.

2. $f'(x)=3ax^2+2bx+c$.
On doit avoir : $\left\{\begin{array}{rcl}f(0)=0\\ f(\frac{5}{2} =1\\f(5)=2\\f'(0)=0\\f'(5)=0\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{rcl}d&=&0\\\frac{125}{8} a +\frac{25}{4} b +\frac{5}{2} c +d&=&1\\125a+25b+5c+d&=&2\\c&=&0\\75a+50b+c&=&0\end{array}\right.$

On a 5équations et 4 inconnues donc on résout le système formé par 4 des équations et on vérifie que les valeurs trouvées vérifient la cinquième.
J'ai obtenu $f(x)=-\frac{4}{125} x^3 +\frac{6}{25} x^2$ et donc $f'(x)=-\frac{12}{125}x^2+\frac{12}{25} x$

3. La pente est donnée par le nombre dérivé.
Dans le cas A, sur la portion (AI) $f'(x)=\frac{8}{25}x$ c'est une fonction affine croissante donc la pente est maximale pour $x=\frac{5}{2}$ et vaut $\frac{8}{25} \times \frac{5}{2}=\frac{4}{5}$
Sur la portion (IB) $g'(x)=-\frac{8}{25} x +\frac{8}{5}$, c'est une fonction affine décroissante donc la pente est maximale pour $x=\frac{5}{2}$ et vaut $\frac{4}{5}$ (question 1.c)
La pente maximale est donc $\frac{4}{5}$

Dans le cas B , $f'$ est une fonction du second degré, pour obtenir son maximum, on calcule sa dérivée $f"(x)=-\frac{24}{125} x +\frac{12}{25}$
$f'(x)=0$ pour $x=\frac{\frac{12}{25}}{\frac{24}{125}}=\frac{5}{2}$
Le tableau de variation de $f'$ montre donc que le maximum est atteint pour $x=\frac{5}{2}$ et $f'(\frac{5}{2}=-\frac{12}{125} \times \frac{25}{4} +\frac{12}{25} \times \frac{5}{2}=\frac{3}{5}$

La pente maximale est supérieure dans le cas A.

[nico033]

merci bcp !!!!