Bonsoir;
Je vous envois mon exercice que j'ai eu à mon devoir avant les vacances, que je n'arrive pas du tout à refaire, pourriez vous m'aider svp à le comprendre ,
merci par avance
soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieure à x
montrer par récurrence sur n que pour tout entier n supérieur ou égal à k , k^n / n! < ou égal à k^k /k!
en déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à k ; x^n / n! < ou égal à (x/k)^n * (k^k / k!)
montrer que lim (x^n/n!) = 0 lorsque n tend vers +infini
montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2, (n^(n-1)) / (n!) supérieur ou égal à 1
En déduire que lim n^n / n! = + infini lorsque n tend vers +infini
suite
Re: suite
Bonjour
a) Initiation : pour $n=k$ on a bien $\frac{k^n}{n!}\leq \frac{k^k}{k!}$ puisqu'il y a égalité.
Hérédité : on suppose vérifié pour un entier $n\geq k$ l'inégalité $\frac{k^n}{n!}\leq \frac{k^k}{k!}$
Il faut démontrer que $\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{k^k}{k!}$
$\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{k^n}{n!}\times \frac{k}{n+1}$
$\frac{k}{n+1}<\frac{k}{n}\leq 1$ puisque, par hypothèse, $n\geq k$ donc $\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{k^n}{n!}\leq \frac{k^k}{k!}$
b) $\frac{x^n}{n!}=\frac{x^n}{k^n}\times \frac{k^n}{n!}\leq (\frac{x}{k})^n \times \frac{k^k}{k!}$
c) $\frac{x^n}{n!}\geq 0$
$k>x$ donc $0\leq \frac{x}{k}<1$ et par conséquent $\lim_{n\to +\infty} (\frac{x}{k})^n=0$ (terme d'une suite géométrique de prison positive strictement <1)
Par majoration, $\lim_{n\to +\infty} \frac{x^n}{n!}=0$
d) On montre par récurrence que pour $n\geq 2,\ n^{n-1}\geq n!$
Vérifié pour $n=2$
On suppose l'inégalité vérifiée au rang $n$. Il faut démontrer que $(n+1)^n\geq (n+1)!$
$(n+1)^n =(n+1)\times (n+1)^{n-1}\geq (n+1)\times n^{n-1}\geq (n+1)\times n!=(n+1)!$
Donc $\frac{n^{n-1}}{n!}\geq 1$
On en déduit : $\frac{n^n}{n!}=n\times \frac{n^{n-1}}{n!}\geq n$.
Donc $\lim_{n\to +\infty} \frac{n^n}{n!} =+\infty$
a) Initiation : pour $n=k$ on a bien $\frac{k^n}{n!}\leq \frac{k^k}{k!}$ puisqu'il y a égalité.
Hérédité : on suppose vérifié pour un entier $n\geq k$ l'inégalité $\frac{k^n}{n!}\leq \frac{k^k}{k!}$
Il faut démontrer que $\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{k^k}{k!}$
$\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{k^n}{n!}\times \frac{k}{n+1}$
$\frac{k}{n+1}<\frac{k}{n}\leq 1$ puisque, par hypothèse, $n\geq k$ donc $\frac{k^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{k^n}{n!}\leq \frac{k^k}{k!}$
b) $\frac{x^n}{n!}=\frac{x^n}{k^n}\times \frac{k^n}{n!}\leq (\frac{x}{k})^n \times \frac{k^k}{k!}$
c) $\frac{x^n}{n!}\geq 0$
$k>x$ donc $0\leq \frac{x}{k}<1$ et par conséquent $\lim_{n\to +\infty} (\frac{x}{k})^n=0$ (terme d'une suite géométrique de prison positive strictement <1)
Par majoration, $\lim_{n\to +\infty} \frac{x^n}{n!}=0$
d) On montre par récurrence que pour $n\geq 2,\ n^{n-1}\geq n!$
Vérifié pour $n=2$
On suppose l'inégalité vérifiée au rang $n$. Il faut démontrer que $(n+1)^n\geq (n+1)!$
$(n+1)^n =(n+1)\times (n+1)^{n-1}\geq (n+1)\times n^{n-1}\geq (n+1)\times n!=(n+1)!$
Donc $\frac{n^{n-1}}{n!}\geq 1$
On en déduit : $\frac{n^n}{n!}=n\times \frac{n^{n-1}}{n!}\geq n$.
Donc $\lim_{n\to +\infty} \frac{n^n}{n!} =+\infty$