Bonsoir ,
Je ne comprends pas ce qu'est la racine nième , ni la différence entre l'équation z (puissance n) =a et
az(carré) +bz+c=0 ?
nombres complexes
Re: nombres complexes
Soit les complexes $z$ et $Z$, $z$ est la racine nième de $Z$ lorsque $z^n=Z$
Exemple : $-2i$ est la racine cubique (ou racine troisième ) de $8i$ car $(-2i)^3=(-2)^3 i^3=-8(-i) =8i$
Résoudre dans ${\mathbb C}$ l'équation $z^2=5+12i$
On utilise la forme algébrique de $z$ : $z=x+yi$ avec $x$ et $y$ réels.
$z^2=x^2 +2xyi+(yi)^2=x^2+2xyi-y^2=(x^2-y^2)+2xy i$
2 complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire donc
$(x^2-y^2)+2xyi=5+12i \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}x^2-y^2&=&5\\ 2xy&=&12\end{array}\right.$
$x$ et $y$ sont non nuls. $\left\{\begin{array}{rcl}y&=&\frac{6}{x}\\x^2-\frac{36}{x^2}&=&5\end{array}\right.$
$x^4-36=5x^2$. On pose $X=x^2$ donc $X^2-5X-36=0$. Racines : -4 et 9.
$x^2=-4$ est impossible puisque $x$ est un réel
$x^2=9$ donc $x=\pm 3$ donc 2 couples solutions : (3 , 2) et (-3 , -2).
Les solutions de l'équation posées sont donc les complexes $3+2i$ et $-3-2i$
Pour l'équation du second degré $az^2+bz+c=0$, je pense que vous avez vu les formules qui sont semblables à celles utilisées dans $\mathbb R$. La différence est que si le discriminant est négatif il y a des solutions complexes.
Exemple : $-2i$ est la racine cubique (ou racine troisième ) de $8i$ car $(-2i)^3=(-2)^3 i^3=-8(-i) =8i$
Résoudre dans ${\mathbb C}$ l'équation $z^2=5+12i$
On utilise la forme algébrique de $z$ : $z=x+yi$ avec $x$ et $y$ réels.
$z^2=x^2 +2xyi+(yi)^2=x^2+2xyi-y^2=(x^2-y^2)+2xy i$
2 complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire donc
$(x^2-y^2)+2xyi=5+12i \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl}x^2-y^2&=&5\\ 2xy&=&12\end{array}\right.$
$x$ et $y$ sont non nuls. $\left\{\begin{array}{rcl}y&=&\frac{6}{x}\\x^2-\frac{36}{x^2}&=&5\end{array}\right.$
$x^4-36=5x^2$. On pose $X=x^2$ donc $X^2-5X-36=0$. Racines : -4 et 9.
$x^2=-4$ est impossible puisque $x$ est un réel
$x^2=9$ donc $x=\pm 3$ donc 2 couples solutions : (3 , 2) et (-3 , -2).
Les solutions de l'équation posées sont donc les complexes $3+2i$ et $-3-2i$
Pour l'équation du second degré $az^2+bz+c=0$, je pense que vous avez vu les formules qui sont semblables à celles utilisées dans $\mathbb R$. La différence est que si le discriminant est négatif il y a des solutions complexes.
Re: nombres complexes
Merci beaucoup.