Bonjour;
Voici le 2ème exercice que je dois remettre la semaine prochaine, merci par avance de votre aide ;
soient les suites (un) , (vn) et (wn) définies par :
un = n + 3^n
vn = 1 + (1) / (rac (n+1))
wn = n^3 - 3n^2 + 6n
étudier les variations de chacune de ces suites en faisant un+1 - un , wn+1 - wn et vn+1 - vn
autre exercice suite
Re: autre exercice suite
Bonjour
$u_{n+1}-u_n=(n+1)+3^{n+1}-n-3^n=1+3^n(3-1)=1+3^n\times 2>0$ donc la suite est strictement croissante.
$v_{n+1}-v_n=1+\frac{1}{\sqrt {n+2}}-1-\frac{1}{\sqrt {n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}\sqrt {n+2}}<0$ car $\sqrt{n+1}<\sqrt{n+2}$. La suite est strictement décroissante.
$w_{n+1}-w_n=(n+1)^3-3(n+1)^2+6(n+1)-n^3+3n^2-6n=(n+1)^3-n^3-3((n+1)^2-n^2)+6$
$=n^3+3n^2+3n+1-n^3-3(n^2+2n+1-n^2)+6=3n^2-3n+4$
Le discriminant du trinôme est : $9-48<0$ donc d'après la règle sur le signe du trinôme, celui ci est strictement positif.
La suite est donc strictement croissante.
$u_{n+1}-u_n=(n+1)+3^{n+1}-n-3^n=1+3^n(3-1)=1+3^n\times 2>0$ donc la suite est strictement croissante.
$v_{n+1}-v_n=1+\frac{1}{\sqrt {n+2}}-1-\frac{1}{\sqrt {n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}\sqrt {n+2}}<0$ car $\sqrt{n+1}<\sqrt{n+2}$. La suite est strictement décroissante.
$w_{n+1}-w_n=(n+1)^3-3(n+1)^2+6(n+1)-n^3+3n^2-6n=(n+1)^3-n^3-3((n+1)^2-n^2)+6$
$=n^3+3n^2+3n+1-n^3-3(n^2+2n+1-n^2)+6=3n^2-3n+4$
Le discriminant du trinôme est : $9-48<0$ donc d'après la règle sur le signe du trinôme, celui ci est strictement positif.
La suite est donc strictement croissante.