Bonsoir;
J'aurai besoin d'aider pour trouver une récurrence car pour l'hérédité je n'y arrive pas . Merci à vous .
Prouver que pour tout n appartenant à IN, 4^(2n+2) - 15n - 16 est divisible par 225
récurrence
Re: récurrence
Bonjour
On suppose vérifié au rang $n$ : $4^{2n+2}-15n-16=225 k\ (k\in {\mathbb N})$
Il faut vérifier que $4^{2(n+1)+2}-15(n+1)-16$ est divisible par 225.
$4^{2(n+1)+2}-15(n+1)-16=4^{2n+4}-15n-31 =4^2\times 4^{2n+2} -15n-31$
De l'hypothèse de récurrence on déduit que $4^{2n+2} =225k +15n+16$.
On a alors $4^{2(n+1)+2}-15(n+1)-16=16(225k+15n+16)-15n-31=16\times 225 k +225n+225 =225( 16 k +n+1)$
Donc $4^{2(n+1)+2}-15(n+1)-16$ est bien divisible par 225.
On suppose vérifié au rang $n$ : $4^{2n+2}-15n-16=225 k\ (k\in {\mathbb N})$
Il faut vérifier que $4^{2(n+1)+2}-15(n+1)-16$ est divisible par 225.
$4^{2(n+1)+2}-15(n+1)-16=4^{2n+4}-15n-31 =4^2\times 4^{2n+2} -15n-31$
De l'hypothèse de récurrence on déduit que $4^{2n+2} =225k +15n+16$.
On a alors $4^{2(n+1)+2}-15(n+1)-16=16(225k+15n+16)-15n-31=16\times 225 k +225n+225 =225( 16 k +n+1)$
Donc $4^{2(n+1)+2}-15(n+1)-16$ est bien divisible par 225.