Bonsoir ;
Pourriez vous m'aider sur un exercice que je dois rendre pour lundi prochain, merci par avance de votre aide
Existe t'il des valeurs de m pour lesquelles la droite d'équation y = mx est tangente à la parabole d'équation y = 1/2x^2 - 2x + 3?
raisonnement
Re: raisonnement
Bonjour
$f(x)=\frac{1}{2} x^2 -2x+3$ ; $f'(x)=x-2$
L'équation d'une tangente à la parabole au point d'abscisse $\alpha$ est $y=f'(\alpha) (x-\alpha ) +f(\alpha)$ soit :
$y=(\alpha -2)(x-\alpha)+\frac{1}{2} \alpha^2 -2\alpha +3$
$y=(\alpha-2) x -\alpha^2+2\alpha+\frac{1}{2} \alpha^2-2\alpha +3$
$y=(\alpha -2)x -\frac{1}{2} \alpha^2+3$
Pour que cette droite ait pour équation $y=mx$ on doit donc avoir $\left\{\begin{array}{rcl}\alpha -2&=&m\\-\frac{1}{2}\alpha^2+3&=&0\end{array}\right.$
On obtient donc $\alpha^2=6$ soit $\alpha =\pm \sqrt 6$
Donc 2 valeurs de $m$ possibles : $\sqrt 6-2$ et $-\sqrt 6-2$.
$f(x)=\frac{1}{2} x^2 -2x+3$ ; $f'(x)=x-2$
L'équation d'une tangente à la parabole au point d'abscisse $\alpha$ est $y=f'(\alpha) (x-\alpha ) +f(\alpha)$ soit :
$y=(\alpha -2)(x-\alpha)+\frac{1}{2} \alpha^2 -2\alpha +3$
$y=(\alpha-2) x -\alpha^2+2\alpha+\frac{1}{2} \alpha^2-2\alpha +3$
$y=(\alpha -2)x -\frac{1}{2} \alpha^2+3$
Pour que cette droite ait pour équation $y=mx$ on doit donc avoir $\left\{\begin{array}{rcl}\alpha -2&=&m\\-\frac{1}{2}\alpha^2+3&=&0\end{array}\right.$
On obtient donc $\alpha^2=6$ soit $\alpha =\pm \sqrt 6$
Donc 2 valeurs de $m$ possibles : $\sqrt 6-2$ et $-\sqrt 6-2$.