factorielle

[nico033]

Bonsoir;

Je n'arrive pas à faire l'exercice que je dois rendre pour vendredi, pourriez vous m'aider s'il vous plait;
merci par avance de votre aide;

factorielle n = 1*2*3*......*n si n différent de 0
factorielle n = 0 si n =0
Calculer 4! et 5!
simplifier les fractions 2016! / 2015! et (n+1)! / n!
prouver que (1) / (69!) + (1) / (70!) - (1) / (71!) = (70 * 72) / (71!)

prouver par récurrence que pour tout k appartenant à N étoile , on a : (somme allant de k = 1 à k = n (2k)! supérieur ou égal à ((n+1)!)^n

[Job]

Bonjour

On applique la définition : $4!=1\times 2 \times 3 \times 4=24$ et $5!= 1\times 2 \times 3 \times 4 \times 5 =120$

$\frac{2016!}{2015!}=\frac{2016\times 2015 \times \cdots \times 1}{2015 \times \cdots \times 1}=2016$ après simplification.

$\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{(n+1)\times n \times \cdots \times 1}{n \times \cdots \times 1}=n+1$

$71!=70!\times 71=69!\times 70\times 71$
On réduit au même dénominateur 71! :
$\frac{1}{69!}+\frac{1}{70!} -\frac{1}{71!}=\frac{70\times 71}{71!}+\frac{71}{71!}-\frac{1}{71!}=\frac{70\times 71 +70}{71!}=\frac{70(71+1)}{71!}=\frac{70 \times 72}{71!}$

Je pose $S_n=\sum_{k=1}^n (2k)!$
Il y a une erreur de texte : pour $n=2$ on a $S_2=2!+4!=2+24=26$ et $((2+1)!)^2=(3!)^2=6^2=36$
L'inégalité n'est donc pas vérifiée.

[nico033]

Bonjour;

Je vous remercie , mais ce n'est pas une somme je me suis trompé c'est pi (allant de k = 1 à k = n (2k)!)

[Job]

Il s'agit donc d'un produit et non d'une somme. Je pose $P_n=\prod_{k=1}^n (2k)!$

Initialisation : pour $n=1$ $P_1=2!=2$ et $((1+1)!)^1=2$ donc l'inégalité est vérifiée.

Hérédité : On suppose vérifié au rang $n$ : $P_n\geq ((n+1)!)^n$
Il faut démontrer que $P_{n+1}\geq ((n+2)!)^{n+1}$

$P_{n+1}=P_n\times (2(n+1))!\geq ((n+1)!)^n\times (2n+2)!$

$(2n+2)!=1\times \cdots \times (n+2)\times (n+3)\times \cdots \times (2n+2)=(n+2)!\times (n+3)\times \cdots \times (2n+2)$
Le produit $(n+3)\times \cdots \times (2n+2)$ comporte $(2n+2)-(n+3)+1=n$ facteurs tous supérieurs à $(n+2)$ donc $(2n+2)!\geq (n+2)!\times (n+2)^n$

On obtient alors $P_{n+1}\geq ((n+1)!)^n\times (n+2)!\times (n+2)^n =[(n+1)!\times (n+2)]^n \times (n+2)!=((n+2)!)^n\times (n+2)!=((n+2)!)^{n+1}$

Une démonstration pas évidente.